统计学第4章概率分布样本统计量.ppt

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1、第四章第四章 抽样分布抽样分布4-2统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)你你不不必必吃吃完完整整一一头头牛牛，才才知道它的肉是咬不动的。知道它的肉是咬不动的。Samel Johnson2008年8月4-3统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)参数与统计量参数与统计量总体参数是对总体特征的概括性度量总体参数是对总体特征的概括性度量参数通常是想要知道的但又未知的参数通常是想要知道的但又未知的 用希腊字母表示用希腊字母表示2008年8月4-4统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)参数与统计量参数与统计量诸如二项分布中的诸如二项分布中的 n n 和和 p p,正态分布中

2、的正态分布中的 m m和和 这样的参数这样的参数,都是总体中未知的描都是总体中未知的描述性度量述性度量研究一个总体所要关心的参数有总体平研究一个总体所要关心的参数有总体平均数、总体标准差、总体比例等总体参均数、总体标准差、总体比例等总体参数数研究两个总体时，关心的参数有均值之研究两个总体时，关心的参数有均值之差、两总体比例之差、两总体的方差比差、两总体比例之差、两总体的方差比2008年8月4-5统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)参数与统计量参数与统计量一般总体参数是未知的，可利用样本信一般总体参数是未知的，可利用样本信息推断总体参数息推断总体参数统计量统计量 Eg.抽抽500样本

3、的平均收入推断该地区人样本的平均收入推断该地区人口平均收入口平均收入2008年8月4-6统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)参数与统计量参数与统计量统计量：统计量：根据样本算出来的用于推断总根据样本算出来的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量性度量统计量是：统计量是：样本的函数样本的函数样本的函数样本的函数随机变量随机变量随机变量随机变量是根据样本数据算出来的是根据样本数据算出来的是根据样本数据算出来的是根据样本数据算出来的用英文字母表示用英文字母表示用英文字母表示用英文字母表示2008年8月4-7统计学统计学STATISTICS(第

4、三版第三版)总体参数是根据样本统计量来推断的总体参数是根据样本统计量来推断的 Eg.Eg.Eg.Eg.根据样本均值推断总体均值根据样本均值推断总体均值根据样本均值推断总体均值根据样本均值推断总体均值 根据样本方差来推断总体方差根据样本方差来推断总体方差根据样本方差来推断总体方差根据样本方差来推断总体方差 根据样本比例来推断总体比例根据样本比例来推断总体比例根据样本比例来推断总体比例根据样本比例来推断总体比例通过样本统计量来推断总体参数必然有通过样本统计量来推断总体参数必然有某种不确定性某种不确定性 如何判断用样本统计量推断总如何判断用样本统计量推断总体参数时是否可靠呢？体参数时是否可靠呢？20

5、08年8月参数与统计量参数与统计量4-8统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)实际上，我们发现样本统计量具有某种实际上，我们发现样本统计量具有某种特定的性质，即特定的性质，即样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布有规律性，具有特定的性质有规律性，具有特定的性质一般来说，准确的分布是很难知道的一般来说，准确的分布是很难知道的2008年8月4-9统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)Eg.Eg.从样本是从总体中任意取出的时，样从样本是从总体中任意取出的时，样本均值的分布是什么样的？本均值的分布是什么样的？很多时候，当很多时候，当n n足够大时，我们可以将样足够大时，我们可以将

6、样本均值的分布近似为正态分布本均值的分布近似为正态分布样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布提供了样本统计量提供了样本统计量稳定的信息，构成推断总体参数的基础稳定的信息，构成推断总体参数的基础2008年8月4-10统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)样本统计量的分布：就是抽样分布样本统计量的分布：就是抽样分布抽样分布的定义：抽样分布的定义：它是由样本统计量的所有可能值行成的它是由样本统计量的所有可能值行成的相对频数分布（由重复抽样产生）相对频数分布（由重复抽样产生）Eg.Eg.样本均值的分布，样本比例的分布，样本均值的分布，样本比例的分布，样本方差的分布样本方差的分布2008年8

7、月4-11统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4-12统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)三种分布三种分布总体分布总体分布样本分布样本分布抽样分布抽样分布2008年8月4-13统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)总体分布总体分布总体分布的定义：总体分布的定义：总体中各元素的观察值所行成的相对频数总体中各元素的观察值所行成的相对频数分布分布怎么得到总体分布？怎么得到总体分布？若所有观察值可得到，通过若所有观察值可得到，通过直方图直方图观察其观察其分布状况分布状况若不能得到所有观察值，这时可若不能得到所有观察值，这时可抽样推断抽样推断2008年8月

8、4-14统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)总体分布总体分布总体分布的特点：总体分布的特点：1.1.未知的未知的2.2.可根据经验了解其分布类型（假定其服可根据经验了解其分布类型（假定其服从某分布）从某分布）3.3.我们关心总体中的某参数我们关心总体中的某参数2008年8月4-15统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)样本分布（或经验分布）样本分布（或经验分布）样本分布是样本分布是1.1.从总体中抽取一个容量为从总体中抽取一个容量为n n的样本，由的样本，由这这n n个观察值构成的相对频数分布个观察值构成的相对频数分布2.2.样本中各观察值的分布样本中各观察值的分布200

9、8年8月4-16统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)样本分布（或经验分布）样本分布（或经验分布）样本分布的特点样本分布的特点1.1.来自总体，蕴含总体的信息和特征来自总体，蕴含总体的信息和特征2.2.当样本容量当样本容量n n小的时候，样本分布与总小的时候，样本分布与总体分布会有偏差和不一致体分布会有偏差和不一致3.3.当样本容量当样本容量n n增大时，样本分布接近总增大时，样本分布接近总体分布体分布2008年8月4-17统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)样本分布与抽样分布样本分布与抽样分布样本分布：样本分布：样本中各观察值的分布样本中各观察值的分布抽样分布：抽样分布

10、：多次抽样可计算出多个样本多次抽样可计算出多个样本统计量，这些样本统计量所有值构成的统计量，这些样本统计量所有值构成的分布分布2008年8月单个总体参数推断时的抽样分布单个总体参数推断时的抽样分布1.1.样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2.2.样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布3.3.样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布4-19统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月样本均值的分布样本均值的分布(例题分析例题分析)【例例例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素(个个体体)，即即总总体体单单位位数数N N=4 4。4 4 个个个个体体分分别别为为x x1

11、 1=1=1，x x2 2=2=2，x x3 3=3=3，x x4 4=4=4 。总总体的均值、方差及分布如下体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3均值和方差均值和方差均值和方差均值和方差4-20统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月样本均值的分布样本均值的分布 (例题分析例题分析)现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样条件下，共有样条件下，共有4 42 2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42

12、,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的所有可能的所有可能的n n=2 =2 的样本（共的样本（共的样本（共的样本（共1616个）个）个）个）4-21统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月样本均值的分布样本均值的分布 (例题分析例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值1616个样本的均值

13、（个样本的均值（个样本的均值（个样本的均值（x x）x x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 00.10.10.20.20.30.3P P (x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.54-22统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析例题分析)=2.5 2 总体分布总体分布总体分布总体分布样本均值分布样本均值分布样本均值分布样本均值分布4-23统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4-24统

14、计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月样本均值的分布样本均值的分布与中心极限定理与中心极限定理 =50=50=50 =10=10=10X X X总体分布总体分布总体分布总体分布总体分布总体分布n n=4=4抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布xn n=16=16当当当当总总总总体体体体服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布N N(,2 2)时时时时，来来来来自自自自该该该该总总总总体体体体的的的的所所所所有有有有容容容容量量量量为为为为n n的的的的样样样样本本本本的的的的均均均均值值值值 x x也也也也服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布

15、布，x x 的的的的期期期期望值为望值为望值为望值为，方差为，方差为，方差为，方差为 2 2/n n。即。即。即。即 x xN N(,2 2/n n)4-25统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4-26统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4-27统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30)，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布从从从从均均均均值值值值为为为为 ，方方方

16、方差差差差为为为为 2 2的的的的一一一一个个个个任任任任意意意意总总总总体体体体中中中中抽抽抽抽取取取取容容容容量量量量为为为为n n的的的的样样样样本本本本，当当当当n n充充充充分分分分大大大大（n=30n=30）时时时时，样样样样本本本本均均均均值值值值的的的的抽抽抽抽样样样样分分分分布近似服从均值为布近似服从均值为布近似服从均值为布近似服从均值为、方差为、方差为、方差为、方差为 2 2/n n的正态分布的正态分布的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体x x4-28统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)中心极限定理中心极限定理 (central limit

17、theorem)x x 的的的的分分分分布布布布趋趋趋趋于于于于正正正正态态态态分分分分布布布布的的的的过过过过程程程程4-29统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月抽样分布与总体分布的关系抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本大样本大样本大样本大样本小样本小样本小样本小样本小样本小样本样本均值样本均值正态分布正态分布样本均值样本均值正态分布正态分布样本均值样本均值非正态分布非正态分布4-30统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月1.样本均值的分布样本均值的分布样本均值的分布样本均

18、值的分布2.样本均值的期望值和方差样本均值的期望值和方差样本均值的期望值和方差样本均值的期望值和方差样本均值的分布样本均值的分布(数学期望与方差数学期望与方差)4-31统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)样本均值的分布样本均值的分布(数学期望与方差数学期望与方差)不重复抽样时，样本均值的方差需要用不重复抽样时，样本均值的方差需要用修正系数修正系数 去修正去修正2008年8月4-32统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)样本均值的分布样本均值的分布(数学期望与方差数学期望与方差)注意：注意：对无限总体进行不重复抽样时，可对无限总体进行不重复抽样时，可当做重复抽样处理当做重复

19、抽样处理对有限总体，当对有限总体，当N N很大，而抽样比很大，而抽样比n/Nn/N很小，其修正系数趋于很小，其修正系数趋于1 1这时也这时也可当做重复抽样处理可当做重复抽样处理2008年8月4-33统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4-34统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4.4.3 其他统计量的分布其他统计量的分布4.4 样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布4-36统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月1.1.总体总体总体总体(或样本或样本或样本或样本)中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单

20、中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单位总数之比位总数之比位总数之比位总数之比n n不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比n n合格品合格品合格品合格品(或不合格品或不合格品或不合格品或不合格品)与全部产品总数之比与全部产品总数之比与全部产品总数之比与全部产品总数之比2.2.总体比例可表示为总体比例可表示为总体比例可表示为总体比例可表示为3.3.样本比例可表示为样本比例可表示为样本比例可表示为样本比例可表示为 样本比例的分布样本比例的分布(proportion)4-37统计学统计学STATISTICS(第三版第

21、三版)2008年8月1.适合研究分类问题适合研究分类问题2.样本比例的抽样分布（定义）：在重复选样本比例的抽样分布（定义）：在重复选取容量为取容量为n的样本时，由样本比例的所有的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布可能取值形成的相对频数分布3.一种理论概率分布一种理论概率分布 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布4-38统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月 4.当样本容量很大时（当样本容量很大时（np=5或或 n(1-p)=5）样本比例的抽样分布可用正态分布近似样本比例的抽样分布可用正态分布近似 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布4-39统计学统计学S

22、TATISTICS(第三版第三版)不重复抽样时，样本比例的方差需要用不重复抽样时，样本比例的方差需要用修正系数修正系数 去修正去修正2008年8月4-40统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布用用样样本本方方差差去去推推断断总总体体方方差差时时必必须须知知道道样样本方差的抽样分布本方差的抽样分布样样本本方方差差的的抽抽样样分分布布，是是在在重重复复选选取取容容量量为为n n的的样样本本时时，由由样样本本方方差差的的所所有有可可能能取取值值形成的相对频数分布形成的相对频数分布4-41统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)200

23、8年8月样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为的抽样分布服从自由度为 (n n-1)-1)的的 2 2分布，即分布，即4-42统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)c c2 2分布分布(图示图示)选择容量为选择容量为n 的的简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差 2 2计算卡方值计算卡方值 2=(n-1)s2/2计算出所有的计算出所有的 2 2值值不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布 2 2 2 22 2n n=1=1n n

24、=4=4n n=10=10n n=20=20 总体总体两个总体参数推断时的抽样分布两个总体参数推断时的抽样分布1.1.两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布2.2.两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布3.3.两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布4-44统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)1.两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即 ，2.两两两两个个个个样样样样本本本本均均均均值值值值之之之之差差差差 的的的的抽抽抽抽样样样样分分分分布布布布服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布，

25、其分布的数学期望为两个总体均值之差布，其分布的数学期望为两个总体均值之差布，其分布的数学期望为两个总体均值之差布，其分布的数学期望为两个总体均值之差 方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布4-45统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布 1 1 1 1 1 1 1 1总体总体1 1 2 2 2 2 2 2 2 2总体总体2 2抽取简单随机样抽取简单随机样样本容量样本容量 n1 1计算计算x1 1抽取简单随机样抽取简单随机样样本容量样本容量

26、n2 2计算计算x2 2计算每一对样本计算每一对样本的的x1 1-x2 2所有可能样本所有可能样本的的x1 1-x2 2 1 1 1 1-2 22 2抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布4-46统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)1.1.两个总体都服从二项分布两个总体都服从二项分布两个总体都服从二项分布两个总体都服从二项分布2.2.分分分分别别别别从从从从两两两两个个个个总总总总体体体体中中中中抽抽抽抽取取取取容容容容量量量量为为为为n n1 1和和和和n n2 2的的的的独独独独立立立立样样样样本本本本，当当当当两两两两个个个个样样样样本本本本都都都都为为为为大大大大样样样样本本本本

27、时时时时，两两两两个个个个样样样样本本本本比比比比例例例例之之之之差差差差的的的的抽抽抽抽样分布可用正态分布来近似样分布可用正态分布来近似样分布可用正态分布来近似样分布可用正态分布来近似3.3.分布的数学期望为分布的数学期望为分布的数学期望为分布的数学期望为 方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布4-47统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布1.1.两两两两个个个个总总总总体体体体都都都都为为为为正正正正态态态态分分分分布布布布，即即即即X

28、X1 1 N N(1 1,1 12 2)，X X2 2 N N(2 2,2 22 2)2.2.从两从两从两从两个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为n n1 1和和和和n n2 2的独立样本的独立样本的独立样本的独立样本3.3.两两两两个个个个样样样样本本本本方方方方差差差差比比比比的的的的抽抽抽抽样样样样分分分分布布布布，服服服服从从从从分分分分子子子子自自自自由由由由度度度度为为为为(n n1 1-1)-1)，分母自由度为，分母自由度为，分母自由度为，分母自由度为(n n2 2-1)-1)的的的的F F分布，即分布，即分布，即分布，即 4-

29、48统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月4-49统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2008年8月统计量的标准误差统计量的标准误差 (standard error)1.1.样样本本统统计计量量的的抽抽样样分分布布的的标标准准差差，称称为为统统计计量的量的标准误标准误，也称为，也称为标准误差标准误差2.2.衡衡量量统统计计量量的的离离散散程程度度，测测度度了了用用样样本本统统计计量估计总体参数的精确程度量估计总体参数的精确程度3.3.样本均值和样本比例的标准误差分别为样本均值和样本比例的标准误差分别为4-50统计学统计学STATISTICS(第三版第三版)2

30、008年8月估计的标准误差估计的标准误差 (standard error of estimation)1.1.当当计计算算标标准准误误时时涉涉及及的的总总体体参参数数未未知知时时，用用样样本本统统计计量量代代替替计计算算的的标标准准误误，称称为为估估计的标准误计的标准误2.2.以样本均值为例：当总体标准差以样本均值为例：当总体标准差以样本均值为例：当总体标准差以样本均值为例：当总体标准差 未知时，可未知时，可未知时，可未知时，可用样本标准差用样本标准差用样本标准差用样本标准差s s s s代替，则代替，则代替，则代替，则在重复抽样条件下，在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误样本均值的估计标准误样本均值的估计标准误样本均值的估计标准误为为结结 束束