《D85隐函数求导》PPT课件.ppt

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1、 第八章 第五节机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的一、一个方程所确定的隐函数函数 及其及其导数数 二、方程二、方程组所确定的所确定的隐函数函数组 及其及其导数数隐函数的求导方法 本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的一、一个方程所确定的隐函数及其函数及其导数数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某某邻域内域内可唯一确定一个在点的

2、某一邻域内满足满足条件机动目录上页下页返回结束导数两边对 x 求导在的某邻域内则机动目录上页下页返回结束若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有机动目录上页下页返回结束例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且机动目录上页下页返回结束并求机动目录上页下页返回结束两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法数的另一求法 利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏偏导数数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x

3、,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束两边对 x 求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束例例2.设解法解法1 利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束再对 x 求导解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导机动目录上页下页返回结束例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动目录上页下页返回结束故对方程两边求微分:解法解法2 微分法.机动目录上页下页返回结束二、方程二、方程组所确定的所确定的隐函数函数组及其及其导数数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行

4、列式称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比目录上页下页返回结束定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动目录上页下页返回结束定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P34-P35)机动目录上页下页返回结束有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内公式目录上页下页返回结束故得系数行列式同样可得机动目录上页下页返回结束例例4.设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习:求机动目录上页下页返回结束答案答案:由题设故有例例5.5.设

5、函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动目录上页下页返回结束式两边对 x 求导,得机动目录上页下页返回结束则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.机动目录上页下页返回结束从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得机动目录上页下页返回结束从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得例例5的的应用用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于机动目录上页下页返回结束内容小内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方

6、法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与思考与练习设求机动目录上页下页返回结束提示提示:机动目录上页下页返回结束解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作作业 P37 3,6，7,9,10(1);(3)，11第六节目录上页下页返回结束由d y,d z 的系数即可得备用用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研考研)机动目录上页下页返回结束解得因此2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研考研)机动目录上页下页返回结束解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动目录上页下页返回结束可得