般测量问题中的数据处理方法.ppt

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1、 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法u研究数据处理的目的研究数据处理的目的 恰当地处理测量所得的数据，可以最大限度地恰当地处理测量所得的数据，可以最大限度地减少测量误差的影响，给出一个尽可能精确的结减少测量误差的影响，给出一个尽可能精确的结果，并对这一结果的精确程度作出评价。果，并对这一结果的精确程度作出评价。u本部分主要讨论本部分主要讨论 几个基本的数据处理方法，它们分别用来解决几个基本的数据处理方法，它们分别用来解决不同的数据处理问题。不同的数据处理问

2、题。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理p1 算术平均值原理算术平均值原理p2 加权算术平均值原理加权算术平均值原理p3 测量数据的修正测量数据的修正p4 实用谐波分析法实用谐波分析法 p5 异常数据的剔除异常数据的剔除第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 1 算术平均值原理算术平均值原理u使用范围使用范围 对对同一量进行多次等精度重复测量同一量进行多次等精度重复测量而得到的数而得

3、到的数据的处理据的处理。所谓。所谓“等精度等精度”是指各次测量的标准是指各次测量的标准差差 相同，而并非指各测量数据具有相同的误相同，而并非指各测量数据具有相同的误差。差。事实上，各测量数据的误差事实上，各测量数据的误差 并不相同。并不相同。u优点优点 测量的测量的随机误差的影响是最小随机误差的影响是最小。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法u局限性局限性1 1 算术平均值仍为随机变量，它算术平均值仍为随机变量，它不可能完全排除不可能完全排除随机误差的影响随

4、机误差的影响，只是，只是减小减小这一影响。这一影响。2 2 由于由于系统误差不具有随机抵偿性系统误差不具有随机抵偿性，算术平均值，算术平均值原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情况下，况下，不能指望通过取算术平均值减小系统误差不能指望通过取算术平均值减小系统误差的影响的影响。3 算术平均值原理在算术平均值原理在提高精度提高精度的效果上是的效果上是有限有限的的.误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法一、算术平均值原理

5、一、算术平均值原理u若对某个量若对某个量X X 进行进行n n 次等精度重复测量次等精度重复测量(各次测量的标准差各次测量的标准差 相同相同)，得到，得到n n 个测量数据个测量数据 ，则被测量，则被测量X X 的最佳估计量的最佳估计量 应为应为全部测量数据的算术平均值全部测量数据的算术平均值。即。即 x 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法u等精度的多次重复测量结果等精度的多次重复测量结果x xi i 的算术平均的算术平均值值 作为被测量作为被测量X X

6、的估计量的估计量 ，具有，具有一致性一致性、无偏性无偏性和和最优性最优性。(1)(1)一致性一致性(概率极限概率极限)设测量数据设测量数据x xi i 的测量误差为的测量误差为 ，应有，应有 即即 故故 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法式中式中:为算术平均值为算术平均值 的误差的误差若测量误差若测量误差 为服从正态分布的随机误差，为服从正态分布的随机误差，则其数学期望为零，即则其数学期望为零，即 当测量次数足够多时，有当测量次数足够多时，有 误差理论误差

7、理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法即即 可见，以算术平均值可见，以算术平均值 作为作为X X 的估计量具有的估计量具有一致性一致性。(2)(2)无偏性无偏性(数学期望数学期望)算术平均值的误差算术平均值的误差 是各测量误差是各测量误差 的线性的线性和，因而和，因而 也是正态分布的随机变量，且具也是正态分布的随机变量，且具有对称性，数学期望为零。有对称性，数学期望为零。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology

8、 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法即即 因此因此可见，可见，是是X X 的的无偏估计无偏估计(即即 的波动中心是的波动中心是X X)。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(3)(3)最优性最优性 可以证明，当测量误差服从正态分布时，可以证明，当测量误差服从正态分布时，算算术平均值的方差恰好达到估计量的方差下界术平均值的方差恰好达到估计量的方差下界，即即 式中式中:测量数据的标准差；测量数据的标准差；正态分布的概率密度正态

9、分布的概率密度。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法因此因此,算术平均值算术平均值 是被测量是被测量X X 的最佳估计量的最佳估计量.一般来说，无论测量误差具有何种分布，只要一般来说，无论测量误差具有何种分布，只要具有对称性具有对称性，其数学期望就为零其数学期望就为零，以算术平均，以算术平均值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随机误差抵偿性的必然结果，机误差抵偿性的必然结果，按算术平均值原理按算术平均值原理处理等精度

10、重复测量数据处理等精度重复测量数据可充分利用这一抵偿可充分利用这一抵偿性，从而使随机误差对最终结果的影响减小到性，从而使随机误差对最终结果的影响减小到最低限度。最低限度。随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法二、等精度测量数据的残差及其性质二、等精度测量数据的残差及其性质1 1 残差的残差的定义定义通常，被测量的真值是未知的，由测量误差通常，被测量的真值是未知的，由测量误差定义获得的真误

11、差也是未知的，因而无法用测定义获得的真误差也是未知的，因而无法用测量的真误差对测量的精度作出估计。量的真误差对测量的精度作出估计。考虑到算术平均值考虑到算术平均值 接近于被测量接近于被测量X X，定义定义 为测量数据为测量数据x xi i 的残差的残差(剩余误差剩余误差)。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法更一般地，残差的定义可推广为更一般地，残差的定义可推广为式中，式中，为为X X 的估计量，可由包括算术平均值的估计量，可由包括算术平均值原理在内的某一方

12、法给出。原理在内的某一方法给出。2 2 残差的残差的应用应用由于残差易于获得，所以它广泛地应用于精度由于残差易于获得，所以它广泛地应用于精度估计、粗差的判断及某些系统误差的判别规则估计、粗差的判断及某些系统误差的判别规则中。中。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法2 2 残差的残差的性质性质(由算术平均值给出的等精度测量由算术平均值给出的等精度测量数据的残差数据的残差)(1)(1)残差的代数和为零残差的代数和为零，即，即 这一性质常用于检验所计算的算术平均值

13、和残这一性质常用于检验所计算的算术平均值和残差有无差错。差有无差错。(2)(2)残差的平方和最小残差的平方和最小，即，即 测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方和大，这一性质与最小二乘法一致。和大，这一性质与最小二乘法一致。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法三、算术平均值的标准差三、算术平均值的标准差算术平均值仍含有一定的随机误差。为评定这算术平均值仍含有一定的随机误差。为评定这一随机误差的影响，应使用相应的标准差

14、或一随机误差的影响，应使用相应的标准差或不确定度。不确定度。设对设对X X 进行进行n n 次等精度重复测量，得测量数据次等精度重复测量，得测量数据 ，将各数据，将各数据 视为独立的随机变量视为独立的随机变量(而不是具而不是具体的数值体的数值)，则算术平均值，则算术平均值 的方差为的方差为 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法即即因为是等精度测量，即因为是等精度测量，即 ，故故 即即 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute

15、 of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法算术平均值的标准差则为算术平均值的标准差则为 式中式中,测量标准差测量标准差 可按可按用残差估计标准差的用残差估计标准差的贝塞尔贝塞尔(Bessel)(Bessel)公式公式估计估计 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法由于测量的标准差为估计量由于测量的标准差为估计量s s，故公式，故公式应写为应写为 上式表明，上式表明，算术平均值的标准差为测量数据算术平均值

16、的标准差为测量数据标准差的标准差的 。因此，测量次数。因此，测量次数n n 越大，所越大，所得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就越高越高。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法靠增加测量次数靠增加测量次数n n 来给出更高精度的结果是有来给出更高精度的结果是有一定限度的。这是因为：一定限度的。这是因为：(1)(1)算术平均值的标准差算术平均值的标准差 与测量次数的平方根成反比与测量次数的平方根成反比。如图如图 1 1

17、所示，随着所示，随着n n 的增加，的增加，的减小速度下降。当的减小速度下降。当n n 较大时较大时(如如n n20)20)，靠进一步增大，靠进一步增大n n 来减小来减小 ，其效果，其效果并不明显。并不明显。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(2)(2)测量次数测量次数n n 过大，过大，不仅经济上耗费大，而且不仅经济上耗费大，而且测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新的误差的误差。(3)(3)当随机误差远远小于

18、系统误差时，进当随机误差远远小于系统误差时，进步增步增大大n n 已无实际意义，应从减小系统误差着手进已无实际意义，应从减小系统误差着手进一步提高测量结果的精度。一步提高测量结果的精度。因此，测量次数的规定要适当，应顾及到实际因此，测量次数的规定要适当，应顾及到实际效果，一般取效果，一般取n n1010。在较高精度测量中，若以。在较高精度测量中，若以随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次数可大些。数可大些。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一

19、般测量问题中的数据处理方法算术平均值的精度也可用算术平均值的精度也可用扩展不确定度扩展不确定度来来表示，即表示，即 式中式中k k 为置信系数。对于正态分布，常取为置信系数。对于正态分布，常取k k=3=3。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法四、算术平均值的简便算法四、算术平均值的简便算法 设对被测量设对被测量X X 进行进行n n 次等精度的重复测量，得次等精度的重复测量，得测量数据测量数据 ，为简化算术平均值，为简化算术平均值的计算，任选一接近测量数据

20、的计算，任选一接近测量数据 的数值的数值 ，相减得，相减得 则有则有 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 故故 即算术平均值可表示为即算术平均值可表示为 与与 的算术平均值的算术平均值 之和。应注意之和。应注意 值的选取应使值的选取应使 的值尽可能的值尽可能 小，并且便于计算。小，并且便于计算。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数

21、据处理方法例例 1 1 已知测量的标准差为已知测量的标准差为s s=8mg=8mg，欲使最终结，欲使最终结果的标准差小于果的标准差小于5mg5mg，问需要重复测量多少次，问需要重复测量多少次?解解 由题意，算术平均值的标准差由题意，算术平均值的标准差 5mg5mg，由式由式(11)(11)，可得，可得 所以，至少需测量所以，至少需测量3 3次。次。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法例例 2 2 对某量进行对某量进行8 8次连续测量，所得结果如下次连续测量，

22、所得结果如下(单位略单位略)：39.28539.285，39.28839.288，39.28239.282，39.28639.286，39.28439.284，39.28639.286，39.28739.287，39.28539.285。试计算。试计算其算术平均值。其算术平均值。解解 (1)(1)按定义直接计算按定义直接计算 =(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284=(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284+39.286+39.287+39.285)=39.2854+39.286+39.287+39.285)=39.2854 误差理

23、论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(2)(2)按简便算法计算，取按简便算法计算，取x x0 0=39.285=39.285，则则 =39.285+=39.285+1010-3-3(0+3-3+l-1+1+2+0)(0+3-3+l-1+1+2+0)=39.2854 =39.2854 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法例例 3

24、3 对某圆柱体外径尺寸连续测量对某圆柱体外径尺寸连续测量1010次，所次，所得结果如下得结果如下(单位单位mm)mm)：3.9853.985，3.9863.986，3.9883.988，3.9863.986，3.9843.984，3.9823.982，3.9873.987，3.9853.985，3.9893.989，3.9863.986，求最佳结果及其精度，求最佳结果及其精度(不考虑不考虑系统误差系统误差)。解解 测量结果的最佳估计量应为算术平均值。测量结果的最佳估计量应为算术平均值。按简便算法，取按简便算法，取d d0 0=3.985mm=3.985mm，列表计算，列表计算(见表见表 1)1

25、)，得，得 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法表表 1 1 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 =3.985mm+810-3mm =3.9858mm按贝塞尔公式，测量标准差为按贝塞尔公式，测量标准差为 mmmm 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四

26、章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法算术平均值的标准差为算术平均值的标准差为 mmmm其扩展不确定度为其扩展不确定度为 =1.9=1.91010-3-3mmmm最终结果为最终结果为:3.9858+0.0019mm:3.9858+0.0019mm 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 2 2 加权算术平均值原理加权算术平均值原理u不等精度测量不等精度测量 当对某一量进行多次测量时，由于当对某一量进行多次测量时，由于仪器精度和仪器精

27、度和测量方法的优劣、测量者熟练程度及测量条件测量方法的优劣、测量者熟练程度及测量条件等等方面的差别，各次测量可能具有不同的精度，这方面的差别，各次测量可能具有不同的精度，这就是就是不等精度测量不等精度测量。u使用范围使用范围 在在不等精度测量不等精度测量中，所得各测量数据具有中，所得各测量数据具有不同不同的可信程度的可信程度，采用采用加权算术平均值原理加权算术平均值原理处理数据处理数据.误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法一、测量数据的权一、测量数据的权 在

28、不等精度测量的数据处理过程中，精度较高在不等精度测量的数据处理过程中，精度较高的数据应给予较多的重视，而精度较低的数据则的数据应给予较多的重视，而精度较低的数据则相反。为便于数据处理，这一差别应以数值来表相反。为便于数据处理，这一差别应以数值来表示，这一数值就是示，这一数值就是测量数据的权测量数据的权。它表示。它表示该数据该数据相对其他数据的可信程度相对其他数据的可信程度。权的确定原则权的确定原则测量测量数据精度越高数据精度越高(即其可靠程度越高即其可靠程度越高)，其权就，其权就越大；反之，越大；反之，测量测量数据数据精度越低，权就越小精度越低，权就越小。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据

29、处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法确定权大小的基本出发点确定权大小的基本出发点 测量数据精度的高低测量数据精度的高低测量数据的权的确定测量数据的权的确定 由于测量数据的精度以其标准差由于测量数据的精度以其标准差(方差方差)来衡量来衡量,故测量数据故测量数据x xi i的权的权p pi i可按其标准差确定。可按其标准差确定。设不等精度测量数据设不等精度测量数据 的标准差分的标准差分别为别为 ,相应的权相应的权 应满足应满足 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institut

30、e of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 或或 上两式给出了确定权的一般方法上两式给出了确定权的一般方法,即即测量数据的权与相应标准差的平方成反比测量数据的权与相应标准差的平方成反比。实际上，只能给出标准差的估计量实际上，只能给出标准差的估计量(子样标准差子样标准差)s si i，代人上式得，代人上式得，误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 或或权的相对性权的相对性 权本身是无量纲的权本身是无量纲

31、的,它只反映各测量数据之间的它只反映各测量数据之间的相对可信程度相对可信程度,只要能满足上两式只要能满足上两式,其绝对数值的大其绝对数值的大小是无关紧要的。小是无关紧要的。权的数值一经确定，在数据处理过程中就不允权的数值一经确定，在数据处理过程中就不允许再随意改变。一般为了简化处理，应使权的数许再随意改变。一般为了简化处理，应使权的数值尽可能约简。值尽可能约简。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法算术平均值的权与各组测量次数的关系算术平均值的权与各组测量次数

32、的关系 若测量的标准差为若测量的标准差为s s，现进行，现进行m m组测量，各组测组测量，各组测量次数分别为量次数分别为 ，则各组的算术平均，则各组的算术平均值值 (i i=1,2,=1,2,m),m)的标准差为的标准差为 于是各组算术平均值的权于是各组算术平均值的权p pi i应满足下式应满足下式 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法即即 由此可知，由此可知，各组算术平均值的权之比等于各组各组算术平均值的权之比等于各组测量次数之比测量次数之比。误差理论误差

33、理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法有时不能确切知道各测量数据的标准差，这时可有时不能确切知道各测量数据的标准差，这时可依据影响测量数据可靠性的各因素的具体情形作依据影响测量数据可靠性的各因素的具体情形作出判断，直接给出权的数值。出判断，直接给出权的数值。例例 4 4 现对一级钢卷尺进行检定，进行三组不等现对一级钢卷尺进行检定，进行三组不等精度测量，所得结果为精度测量，所得结果为 =2000.45mm,=2000.15mm,=2000.60mm=2000.45mm,=2

34、000.15mm,=2000.60mm，=0.05mm=0.05mm，=0.20mm=0.20mm，=0.10mm=0.10mm，试确定各，试确定各组测量结果的权。组测量结果的权。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法解解 由前面式可得由前面式可得 因此因此,可取权为可取权为 =16=16，=1=1，=4=4。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测

35、量问题中的数据处理方法二、加权算术平均值原理二、加权算术平均值原理 定义定义 设对某量设对某量X X 进行进行n n 次不等精度测量次不等精度测量,得数据得数据 ,各测量数据的权分别为各测量数据的权分别为 ,则被测量则被测量X X 的最佳估计量的最佳估计量 应为全部测量数据的应为全部测量数据的加权算术平均值加权算术平均值这就是这就是加权算术平均值原理加权算术平均值原理。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法可以证明，加权算术平均值是被测量可以证明，加权算术平均

36、值是被测量X X 的的无偏估无偏估计计。特别地，当各测量数据的权均相等时。特别地，当各测量数据的权均相等时(即即 )，则有，则有 这正是等精度测量数据的算术平均值。显然，这正是等精度测量数据的算术平均值。显然，算算术平均值原理是加权算术平均值原理的特例术平均值原理是加权算术平均值原理的特例。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法加权算术平均值原理也以加权算术平均值原理也以随机误差抵偿性为基础随机误差抵偿性为基础，并使随机误差的影响减至最低限度。对于各次测并使随

37、机误差的影响减至最低限度。对于各次测量中的同一系统误差则无此效果。量中的同一系统误差则无此效果。不等精度的测量结果常是采用不同的测量方法而不等精度的测量结果常是采用不同的测量方法而获得的，因此各测量结果中常含有不同的系统误获得的，因此各测量结果中常含有不同的系统误差。由于这些系统误差不是由同一因素造成的，差。由于这些系统误差不是由同一因素造成的，因此互不相同。这类因此互不相同。这类系统误差在各测量结果中相系统误差在各测量结果中相互间具有一定程度的抵偿作用互间具有一定程度的抵偿作用。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四

38、章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法加权算术平均值计算的加权算术平均值计算的简便算法简便算法式中式中x x0 0为为:与与x xi i接近的任意数值接近的任意数值,。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法例例 5 5 求例求例 4 4中三组数据的加权算术平均值。中三组数据的加权算术平均值。解解 1 1按（按（1919）式计算）式计算 mmmm=2000.46mm=2000.46mm 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin

39、 Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法2 2 按按(20)(20)式计算，取式计算，取x x0 0=2000.00mm=2000.00mm =2000.00mm+mm=2000.00mm+mm =2000.46mm =2000.46mm 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法三、单位权及单位权标准差三、单位权及单位权标准差 定义定义 若某一数据若某一数据 的权的权 ，则，则 称为

40、单位权，称为单位权，而而 的标准差的标准差 称为单位权标准差，记为称为单位权标准差，记为 。显然，。显然，则有则有 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法单位权不一定对应着一个具体的测量数据。单位权不一定对应着一个具体的测量数据。由权的相对性可知由权的相对性可知,单位权标准差也具有相对性单位权标准差也具有相对性。随着权数值的改变随着权数值的改变,单位权标准差也将有相应的单位权标准差也将有相应的改变改变。例如例如:设三个测量数据的方差分别为设三个测量数据的方差分

41、别为 =1,=1,=0.5,=2,=0.5,=2,则三个测量数据的权应满足下式则三个测量数据的权应满足下式 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 (1)(1)若取若取 =2=2，=4=4，=1=1，则单位权标准差，则单位权标准差 ；(2)(2)若取若取 =4=4，=8=8，=2=2，则单位权不再是，则单位权不再是 ，而此时，而此时用残差计算单位权标准差用残差计算单位权标准差 设有不等精度测量数据设有不等精度测量数据 ，相应的权，相应的权分别为分别为 ，则各测

42、量数据的残差为，则各测量数据的残差为 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 将各残差将各残差 分别乘以各自的权的平方根分别乘以各自的权的平方根 ，得，得加权加权残差残差 将加权残差代人贝塞尔公式，便可得单位权标将加权残差代人贝塞尔公式，便可得单位权标准差估计量准差估计量(子样单位权标准差子样单位权标准差)的计算公式。的计算公式。按上式计算的结果应为单位权标准差的估计量。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Tech

43、nology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法四、加权算术平均值的精度估计四、加权算术平均值的精度估计加权算术平均值本身含有随机误差，其精度应以加权算术平均值本身含有随机误差，其精度应以其标准差来评定。其标准差来评定。在加权算术平均值的表达式中，测量数据在加权算术平均值的表达式中，测量数据 为随机变量，而相应的权为随机变量，而相应的权 为常量，则为常量，则加权算术平均值的方差加权算术平均值的方差为为 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题

44、中的数据处理方法即即 可知可知 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法即即 的估计标准差为的估计标准差为 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 若将单位权标准差的两个计算公式（若将单位权标准差的两个计算公式（2121）、（）、（2222）代入）代入上式，可得到加权算术平均值标准差估计量的两个计算上式，可得到加权算术平均值标准

45、差估计量的两个计算公式公式及及 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法 注意：注意：1 1 分别按公式分别按公式(24)(24)和和(25)(25)计算加权算术平均值的计算加权算术平均值的标准差标准差,所得结果应该相同。但由于对测量数据所得结果应该相同。但由于对测量数据标准差估计不准以及测量数据中存在系统误差等标准差估计不准以及测量数据中存在系统误差等原因原因,特别是系统误差的影响特别是系统误差的影响,导致导致 值值常常不常常不同同 。2 2 当测量数据中存在

46、不同的系统误差时当测量数据中存在不同的系统误差时,按照式按照式(25)25)计算的计算的 值通常比按式值通常比按式(24)(24)计算的要大些。计算的要大些。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法3 3 计算计算 按式按式(25)(25)计算，能在一定程度上反映系统误差计算，能在一定程度上反映系统误差的影响；按式的影响；按式(24)(24)计算，一般不反映这一系统计算，一般不反映这一系统误差的影响。通常以式误差的影响。通常以式(25)(25)的计算结果为准的计

47、算结果为准(特特别是测量数据较多时别是测量数据较多时)。4 4 但为把握起见，有时取数值较大的一个作为计算但为把握起见，有时取数值较大的一个作为计算结果结果(特别是在测量数据较少时，按式特别是在测量数据较少时，按式(25)(25)计算计算精度较低精度较低)，但给出的精度估计偏于保守。，但给出的精度估计偏于保守。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法例例 6 6 现对角现对角 进行三次测量进行三次测量,所得数据及标准所得数据及标准差分别为：差分别为：,;,;,;

48、,;,试求最后结果及试求最后结果及其标准差。其标准差。误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法解解 列表计算如下列表计算如下 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(1)(1)确定各测量数据的权。由式确定各测量数据的权。由式(16)(16)得得取取 =9，=4，=4。(2)(2)计算加权算术平均值计算加权算术平均值 。取取 ，作

49、，作 ，按简便算法，则有，按简便算法，则有 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(3)(3)求求 的标准差。的标准差。按式按式(24)(24)按式按式(25)(25)误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(4)(4)最后结果为最后结果为 例例 7 7 根据文献发表的结果，真空中的光速及其根据文献发表的结果，真空中的光速及其标

50、准差如表标准差如表 3(3(单位单位km/s)km/s)：解解 列表列表 4 4计算：计算：误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法表表 4 4 误差理论误差理论误差理论误差理论与数据处理Harbin Institute of Technology 第四章第四章 一般测量问题中的数据处理方法一般测量问题中的数据处理方法(1)(1)取各测量数据的权为取各测量数据的权为 ,令令C C0 0=299792.0,=299792.0,则加权算术平均值为则加权算术平均值为(