《两种基本积分法》PPT课件.ppt

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1、目录上页下页返回结束二、分部二、分部积分法分法第三节一、一、换元元积分法分法两种基本积分法 第三三章 目录上页下页返回结束第二第二类换元法元法基本思路基本思路第一第一类换元法元法设可导,则有第一第一类换元法元法目录上页下页返回结束1.不定不定积分的分的换元法元法则(I)定理定理(也称配元法配元法,凑微分法凑微分法)即设是连续函数，值域含于f 的定义域，则有连续的导数，且目录上页下页返回结束例例1.求解解:令则故原式原式=注注:当时注意换回原变量目录上页下页返回结束例例2.求解解:令则想到公式目录上页下页返回结束例例3.求想到解解:(直接配元)目录上页下页返回结束例例4.求解解:类似目录上页下页

2、返回结束例例5.求解解:原式原式=目录上页下页返回结束例例6.求解解:原式=例例7.求解解:目录上页下页返回结束例例8.求解解:原式=例例9.求解解:原式=目录上页下页返回结束例例10 求解法解法1解法解法2 两法两法结果一果一样目录上页下页返回结束例例11.求解法解法1 目录上页下页返回结束解法解法 2 同样可证或目录上页下页返回结束例例12.求解解:原式=目录上页下页返回结束例例13.求解解:目录上页下页返回结束例例14.求解解:原式=目录上页下页返回结束例例15.求解解:原式=分析分析:目录上页下页返回结束例例16.求解解:原式原式目录上页下页返回结束常用的几种配元形式常用的几种配元形式

3、:万能凑幂法目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束小小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如目录上页下页返回结束思考与思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?目录上页下页返回结束2.求提示提示:法法1法法2法法3作业目录上页下页返回结束不定不定积分的分的换元法元法则II第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，目录上页下页返回结束定理定理3.2 设是连续函数,有连续的导数，且证:则定号,则由于定号，故存在反函数，目录上页下页返回结束例例1.求解

4、解:令则 原式目录上页下页返回结束例例2.求解解:令则 原式目录上页下页返回结束例例3.求解解:令则 原式目录上页下页返回结束令于是目录上页下页返回结束说明明:1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或代换外,还可利用公式2.两个常用双曲函数积分公式 目录上页下页返回结束例例4.求解解:令则原式目录上页下页返回结束例例5.求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令目录上页下页返回结束原式例例6.求解解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.目录上页下页返回结束小小结:1.第二第二类换元法常元法常见类型型:令令令或令或令或目录上页

5、下页返回结束2.常用基本积分公式的补充7)分母中因子次数较高时,可试用倒代倒代换 令目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分三角函数有理式的三角函数有理式的积分分则目录上页下页返回结束例例7.求求解解:令则目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束3.定定积分的分的换元法元法 定理定理 设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则目录上页下页返回结束说明明:1)当 ,即区间换为定理 1 仍成立.2)必须注意换元必元必换限限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限目录上页下页返回结束例例1.计算解解:令则 原式=且目录上页下页返回结束例例2 2 计算计算解解目录上页下页返回结束例例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零偶倍奇零目录上页下页返回结束证证（1）设）设目录上页下页返回结束（2）设）设目录上页下页返回结束