阶线性微分方程解的结构.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页复习一阶微分方程复习一阶微分方程：1.1.可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程：形如形如分离变量、两边积分分离变量、两边积分2.2.齐次微分方程齐次微分方程:形如形如作变换作变换3.3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程:形如形如公式公式上页下页铃结束返回首页可降阶的高阶微分方程 1.1.型高阶方程的求解型高阶方程的求解 ；2.2.型高阶方程的求解型高阶方程的求解 ；3.3.型高阶方程的求解型高阶方程的求解 。一、二阶线性微分方程二、线性微分方程的解的结构8.4 二阶线性微分方程解的结构上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分

2、方程下页 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 上页下页铃结束返回首页二、线性微分方程的解的结构 简要证明 这是因为 v定理1(齐次方程的解的叠加原理)下页 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2000(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2

3、)上页下页铃结束返回首页说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.上页下页铃结束返回首页举例 (1)函数1 cos2x sin2x在整个数轴上是线性相关的 这是因为1cos2xsin2x 0 举例 (2)函数1 x x2在任何区间(a b)内是线性无关的 这是因为对任意k1 k2 k3 k1k2xk2x2不可能恒为零 二、线性微分方程的解的结构v函数的线性相关与线性无关下页v定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解

4、那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关 上页下页铃结束返回首页 对于两个函数 如果它们的比恒为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 二、线性微分方程的解的结构下页v函数的线性相关与线性无关v定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1

5、(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关 上页下页铃结束返回首页两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 上页下页铃结束返回首页举例 已知cos x与sin x都是方程yy0的解 因为比值 cos x/sin xcot x不恒为零所以cos x与sin

6、x在()内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程yy0的线性无关解 方程的通解为 yC1cos xC2sin x 举例 已知y1x与y2ex都是方程(x1)yxyy0的解 因为比值ex/x不恒为常数 所以y1x与y2ex在()内是线性无关的 因此y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 方程的通解为 yC1xC2ex 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数v定理2(齐次方程的通解的结构)下页上页下页铃结束返回首页 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)y

7、Q(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数v定理2(齐次方程的通解的结构)如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程 y(n)a1(x)y(n1)an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中C1 C2 Cn为任意常数 推论下页上页下页铃结束返回首页注 我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程 证明提示 Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)Y P(x)YQ(x)Yy*P(

8、x)y*Q(x)y*0f(x)f(x)举例 已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0的通解 y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解 因此 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx2的通解 v定理3(非齐次方程的通解的结构)下页 设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解 那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解 上页下页铃结束返回首页v定理4(非齐次方程的解的叠加原理)简要证明 这是因为 y1*y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2*y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*f1(x)f2(x)结束 设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)的特解