《偏导数全微分》PPT课件.ppt

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1、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法第二节第二节 偏导数偏导数多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。定义定义引例引例:研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度,就是就是将振幅将振幅求求u(x0,t)关于关于 t 的一阶与二阶导数。的一阶与二阶导数。u(x,t)中的中的 x 固定于固定于x0 处处,10/29/20221 1高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图如图x0y0(x0,y

2、0,0)10/29/20222 2高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民几何意义几何意义 f x(x0,y0)是曲线是曲线 在点在点(x0,y0,z0)处的切处的切线沿线沿x轴的斜率。轴的斜率。f y(x0,y0)是曲线是曲线 在点在点(x0,y0,z0)处的切处的切线沿线沿y轴的斜率。轴的斜率。偏导函数偏导函数10/29/20223 3高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 10/29/20224 4高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例设设求求f(x,y)的偏导数。的偏导数

3、。解解10/29/20225 5高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民偏导数存在、连续、极限存在的关系偏导数存在、连续、极限存在的关系f(x,y)在在(x0,y0)偏导数存在偏导数存在f(x,y)在在(x0,y0)连续连续f(x,y)在在(x0,y0)极限存在极限存在在在(0,0)极限不存在，极限不存在，例如例如在在(0,0)不连续，不连续，但。但。10/29/20226 6高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民二、高阶偏导数二、高阶偏导数10/29/20227 7高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？例例设设求

4、二阶混合偏导数。求二阶混合偏导数。解解10/29/20228 8高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民按定义可知：按定义可知：10/29/20229 9高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例9 证明函数证明函数 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程例例8 证明函数证明函数 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程10/29/20221010高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义;记号记号;几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数

5、连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)10/29/202211 11高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民思考与练习：思考与练习：设设z=f(u)，方程，方程确定确定 u 是是 x,y 的函数的函数,连续连续,且且解：解：10/29/20221212高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民作业作业P63 5（1）（）（3）（

6、）（5）；）；6（1）（）（3）（）（5）；）；7,（1）；）；8；P69 3；4；5；6（2）（）（3）；）；7；8；9（2）10/29/20221313高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民第三节第三节 、全微分的定义、全微分的定义一、全微分的概念一、全微分的概念1.回忆：一元函数的微分回忆：一元函数的微分2.二元函数的二元函数的偏增量偏增量与与偏微分偏微分应用应用 近似计算近似计算估计误差估计误差中值定理：中值定理：10/29/20221414高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民3.二元函数的二元函数的全增量全增量与与全微分全微分全增量全增量例例1 1求求 在在(x

7、,y)和和(1,1)的全微分的全微分其中其中全微分定义（略）全微分定义（略）则则 称为二元函数在称为二元函数在(x,y)的的全微分全微分。其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关。有关。若若z=f(x,y)在区域在区域D内处处可微分，则称内处处可微分，则称z=f(x,y)在在D内可微分内可微分。10/29/20221515高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注：注：1.类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：2.（1）dz是是z的线性主部；（的线性主部；（2）误差为）误差为o()2.函数函数 z=

8、f(x,y)在点在点(x,y)可微可微 函数在该点连续。函数在该点连续。3.几何意义：几何意义：函数函数 z=f(x,y)在在(x,y)点可微点可微 曲面曲面z=f(x,y)在在(x,y)点点切平面存在。切平面存在。由微分定义由微分定义:10/29/20221616高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民二、可微分的条件二、可微分的条件证明：证明：定理定理1 1（必要条件）（必要条件）如果函数如果函数z=f(x,y)在点在点(x,y)可微，则该函可微，则该函数在点数在点(x,y)的偏导数的偏导数 存在，且存在，且z=f(x,y)在点在点(x,y)的的全微分为全微分为:。10/29/20

9、221717高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注意：注意：定理定理1 1的逆定理不成立，的逆定理不成立，即即:偏导数存在不一定可微偏导数存在不一定可微!反例：反例：则则10/29/20221818高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民证明：证明：10/29/20221919高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例2 计算函数计算函数的全微分。的全微分。10/29/20222020高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例3 设设解解:利用轮换对称性利用轮换对称性,可得：可得：10/29/20222121高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益

10、民证明：证明：（1）令：令：则则?10/29/20222222高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民（2）不存在。不存在。10/29/20222323高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注注:此题表明此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件。偏导数连续只是可微的充分条件。10/29/20222424高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民内容小结内容小结1.微分定义微分定义:2.重要关系重要关系:偏导存在偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续10/29/20222525高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民课外作业：课外作业：10/2

11、9/20222626高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成10/29/20222727高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解解由公式得由公式得10/29/20222828高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民练练 习习 题题10/29/20222929高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民10/29/20223030高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民10/29/20223131高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民练习题答案练习题答案10/29/20223232高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民10/29/20223333高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民10/29/20223434高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民不存在不存在.观察观察播放播放10/29/20223535