《函数的连续和间断》PPT课件.ppt

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1、三、三、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性函数连续性 第七节函数的连续与间断 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性1设变量设变量从从就称为变量就称为变量的的增量增量，通常用符号，通常用符号表示，表示，其值可正可负其值可正可负函数的增量函数的增量:2注：注：函数函数在点在点一、一、函数的连续性函数的连续性定义定义1:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则称函数则称函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;且且有定义有定义,存在存在;是函数的改变量。是函数的改变量。定

2、义定义2:若若 则称函数则称函数若若 3对自变量的增量对自变量的增量有有函数的增量函数的增量左连续左连续右连续右连续函数函数在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:4若若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续,则称它在该则称它在该区间上连续区间上连续,或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数.在闭区间在闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作如果区间包括端点，如果区间包括端点，在左端点是在左端点是右连续右连续。那么函数在右端点是那么函数在右端点是左连续左连续，continue5在在上连续上连续.(有理整函数有理整函数)又如又如,有理分式函数有理分式函数在其定义

3、域内连续在其定义域内连续.只要只要都有都有例如例如,6解解：例例1：问函数问函数7使函数使函数解：解：例例2：确定确定8例例3.设设则则时时 为连续函数为连续函数.解解:9二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)在在上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增.又如又如,10例例4 求求

4、的连续区间，的连续区间，并求并求解解因为所给函数是初等函数，因为所给函数是初等函数，其连续区间就是定义域：其连续区间就是定义域：又因为又因为是定义域中的一点是定义域中的一点11例例5 求下列函数的极限求下列函数的极限12在在在在三、三、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数(2)函数函数不存在不存在;(3)函数函数存在存在,但但 不连续不连续:设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,则下列情形则下列情形这样的点这样的点之一之一函数函数 f(x)在点在点虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且称为称为间断点间断点.在在无定义无定义;13141516间断点分类间断点分类:第一类间

5、断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点.17为其无穷间断点为其无穷间断点.为其振荡间断点为其振荡间断点.为可去间断点为可去间断点.例如例如:18显然显然为其可去间断点为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点为其跳跃间断点.19x=2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.间断点的类型间断点的类型.答案答案:x=1 是第一类可去间断点是第一类可

6、去间断点,例例6.讨论函数讨论函数解解为间断点为间断点20注意注意:若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立.四、闭区间上的连续函数的性质四、闭区间上的连续函数的性质定理定理1.1.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即:设设则则使使最大值和最小值最大值和最小值.在该区间上一定有在该区间上一定有或在闭区间内或在闭区间内有间断点有间断点,1、最值定理、最值定理21例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,22推论推论.由定理由定理 1 可知有可知有证证:设设上有界上有界.2、介值定理、介值定理定理定理2.(零点

7、定理零点定理)至少有一点至少有一点且且使使在闭区间上连续的函数在该区间上在闭区间上连续的函数在该区间上有界有界.23定理定理3.(介值定理介值定理)设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C,一点一点证证:作辅助函数作辅助函数则则且且故由零点定理知故由零点定理知,至少有一点至少有一点使使即即推论推论:使使至少有至少有在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值.24例例7.证明方程证明方程一个根一个根.证证:显然显然又又故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间内至少有内至少有

8、是方程是方程的根。的根。25例例8至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证：证：证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理,原命题得证原命题得证.内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然正根正根.26使该问题可转换为证明方程则存在一个在上至少有一实根。令由零点定理可证例例9.设证证证明至少有27内容小结内容小结左连续左连续右连续右连续在点在点连续的等价形式连续的等价形式连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定初等函数在定义区间内连续义区间内连续分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续说明说明:2、28第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值;4）当当时时,使使必存在必存在上有界上有界;在在在在4、29作业P64 1（1、3、5）2（3）,3,5,7，830