隐函数与参数方程的导数.ppt

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1、一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、隐函数的导数v显函数与隐函数下页(1)(1)显函数显函数:我们把函数我们把函数y可由自变量可由自变量x的解析式的解析式称称为为显函数显函数.也可以确定一个函数也可以确定一个函数,因为当因为当来表示的这种函数来表示的这种函数,例如 ysin x yln xex 都是显函数若变量若变量y与与x之间的函数关系是由某之间的函数关系是由某一个一个方程方程0),(yxF所确定所确定,那么这种函数称为由方程那么这种函数称为由方程0),(yxF所确定的所确定的 隐函数隐函数.(2)

2、(2)隐函数隐函数:上页下页铃结束返回首页把一个把一个 隐函数隐函数 化为化为 显函数显函数,称为称为 隐函数的显化隐函数的显化注意注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数并不是所有的隐函数都可化为显函数.如如方程方程0 yxeexy所确定的隐函数就不能显化。所确定的隐函数就不能显化。隐函数求导法隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化就是不管隐函数能否显化,直直x接在方程接在方程0),(yxF的两端对的两端对求导求导,由此得到隐由此得到隐函数的导数，函数的导数，若若 y 是由是由0),(yxF所确定的函数所确定的函数,将方程两边对将方程两边对x求导求导,但但 要要 把把 y 看成看成 中间变量中间

3、变量,应用复合函数求导应用复合函数求导法法则进行求导。则进行求导。v隐函数的求导法上页下页铃结束返回首页提示提示:例例1 1 求由方程求由方程y2 2x y 9 0所确定的隐函数所确定的隐函数y的导的导数数 2y y 2y 2x y 0 即即 (y x)y y 隐函数求导举例方程中每一项对方程中每一项对x求导得求导得 解解 (xy)y xy (y2)2y y 下页从而从而 上页下页铃结束返回首页 例例2 2 求由方程求由方程y5 2y x 3x7 0所确定的隐函数所确定的隐函数y f(x)在在x 0处的导数处的导数y|x 0 因为当因为当x 0时时 从原方程得从原方程得y 0 所以所以 5y4

4、 y 2y 1 21x6 0 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导数得求导数得 解法一解法一 下页上页下页铃结束返回首页 5y4 y 2y 1 21x6 0 根据原方程根据原方程 当当x 0时时 y 0 将其代入上述方将其代入上述方程得程得 2y 1 0 从而从而 y|x 0，y 0 0 5 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导数得求导数得 解法二解法二 下页 例例2 2 求由方程求由方程y5 2y x 3x7 0所确定的隐函数所确定的隐函数y f(x)在在x 0处的导数处的导数y|x 0 上页下页铃结束返回首页例例3 3解解解得解得上页下页铃结束返回首页 解解 下页 例例4 4 求曲线

5、在点 处的切线方程和法线方程 方程两边求导数得 于是 在点 处y1 所求切线方程为 即 所求法线方程为 即 xy0 上页下页铃结束返回首页02)1(22 xyx解解yyxarctan)2(解解练习练习求由下列方程所确定的隐函数的导数求由下列方程所确定的隐函数的导数上页下页铃结束返回首页y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得v对数求导法下页上页下页铃结束返回首页 例1 求yx sin x(x0)的导数

6、解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x 下页上页下页铃结束返回首页例例2 2 已知已知函数函数解解等式两边取自然对数得等式两边取自然对数得上页下页铃结束返回首页求求 y xxylnln 得得化简化简 得得练习练习解解等式两边取自然对数得等式两边取自然对数得上页下页铃结束返回首页(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。求导问题。解解等式两边取自然对数：等式两边取自然对数：例例3 3上页下页铃结束返回首页上式两边对x求

7、导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例4 求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数先在两边取对数 得 xln y21ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(4)解 首页上页下页铃结束返回首页等式两边取对数得等式两边取对数得解解练习练习上页下页铃结束返回首页二、由参数方程所确定的函数的导数 设xj(t)具有反函数tj1(x)且tj1(x)与yy(t)构成复合函数yyj1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则下页上页下页铃结束返回首页解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得一阶导数得一阶导数或或tdxdycot 例例1 求由求由参数方程参数方程所确所确定函数的导数定函数的导数上页下页铃结束返回首页例例2 2 求摆线求摆线 )cos1()sin(tayttax在在2p p t处的切线方程处的切线方程和法线方程和法线方程解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得得摆线上点摆线上点当当时时,处切线斜率为处切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为上页下页铃结束返回首页练习练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数求下列参数方程所确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页小结一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数方程参数方程，