随机变量及其分布.ppt

《随机变量及其分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其分布.ppt（104页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第二章 随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量例 电话总机某段时间内接到的电话次数，电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量可用一个变量 X 来描述：来描述：X=0，1，2，随机变量的概念随机变量的概念例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述也可以用一个变量来描述:例 考虑考虑“测试灯泡寿命测试灯泡寿命”这一试验，以这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：记灯泡的寿命（以小时计）则：X=t，(t0)设 S 是随机试验E的样本空间，若定义定义则称 S 上的单值实值函数 X()为随机变量随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，随

2、机变量 是上的映射，此映射具有如下特点:v 定义域定义域 事件域 S；v 随机性随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值或某些 值。引入随机变量的意义引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件，有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。就可以通过随机变量的关系式表达出来。如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用 X 表示，它是一个表示，它是一个随机变量随机变量。收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 没有收到呼叫没有收

3、到呼叫 随机变量的取值随试验的结果而确定，在试验之前，不能预知它取什么值，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率，这一点区别于一般的函数。以下就离散型随机变量、连续型随机变量两类随机变量逐一研究这两个问题。1、随机变量取那些值或取值的范围？2、随机变量取这些值或落在某一范围的概率？例例 有奖储蓄，有奖储蓄，2020万户为一开奖组，设特等万户为一开奖组，设特等奖奖2020名，奖金名，奖金40004000元；一等奖元；一等奖120120名，奖金名，奖金400400元；二等奖元；二等奖12001200名，奖金名，奖金4040元；末等奖元；末等奖4 4万名，奖金万名，奖金4

4、4元。考察得奖金额元。考察得奖金额 X。2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律例例有奖储蓄，有奖储蓄，2020万户为一开奖组，设特等奖万户为一开奖组，设特等奖2020名，奖金名，奖金40004000元；一等奖元；一等奖120120名，奖金名，奖金400400元；二等奖元；二等奖12001200名，奖金名，奖金4040元；末等奖元；末等奖4 4万名，万名，奖金奖金4 4元。考察得奖金额元。考察得奖金额 X。X 的可能取值为：的可能取值为：04404004000p解：解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.7933.2.006 若随机变量若随机

5、变量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限个或可列个，个或可列个，则称则称 X 为为离散型随机变量。离散型随机变量。定义描述描述X 的概率特性常用的概率特性常用概率分布列概率分布列或或分布列分布列X p 即即或 概率分布的性质概率分布的性质1)非负性非负性2)正则性正则性概率分布的特征例例1 1 一批产品的次品率为一批产品的次品率为8%，从中抽取，从中抽取1件件进行检验，令进行检验，令 写出写出 X 的分布律的分布律.X 的分布律为的分布律为:X p 概率分布图概率分布图:0.080 1 x y0.92 解：解：两点分布(01分布)只取两个值的概率分布分布律为：X 0 1pk 1-p p0 p

6、 1或应用场合 凡试验只有两个可能结果，常用0 1分布描述，如产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超标等。1010件产品中，有件产品中，有3 3件次品，任取两件次品，任取两件，件，X是是“抽得的次品数抽得的次品数”，求分布律。，求分布律。X 可能取值为可能取值为 0，1，2。例例2解：解：所以，所以，X的分布律为：的分布律为：X012p7/157/151/15注 求分布律，首先弄清 X 的确切含义及其所有可能取值。例例3 上海的“天天彩”中奖率为p，某人每天买 1 张，若不中奖第二天继续买 1张，直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分布律。X=k 表示购买了表示购买了 k 张

7、，张，前前 k-1张都张都未中奖，未中奖，第第 k 张中了奖。张中了奖。几何分布适用于试验首次成功的场合适用于试验首次成功的场合解：解：1 2 3 k-1 k 例例4 一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号灯灯显显示示的的时时间间相相等等.以以 X 表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数，求求 X 的的概概率率分分布。布。Ai=第第 i 个路口遇红灯个路口遇红

8、灯 ，i=1，2，3解解:设设依题意，依题意，X 可取值可取值 0，1，2，3。P X=0 =P(A1)=路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1p=1/2 ，路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1X0123p1/21/41/81/8概率分布：二项分布贝努里概型和二项分布例例 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p，生女孩的概率，生女孩的概率为为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴个婴儿中儿中“男孩男孩”的个数。的个数。我们来求我们来求X的概率分布。的概率分布。X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个个婴儿中男孩的个

9、数，数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X=1X=2X=3X=4设试验设试验 E 只有两个结果：只有两个结果：和和 ，记记:将将 E 独立地重复独立地重复 n 次，则称这一串重次，则称这一串重复的独立试验为复的独立试验为 n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验，简称为试验，简称为贝努利贝努利(Bernoulli)试验试验在在n重贝努利试验中重贝努利试验中，事件，事件A可能发生可能发生0,1,2,n 次次称称 X 服从参数为服从参数为 p 的的二项分布二项分布(binomial)。记作：记作：当当n=1时，时，P(X=k)=pk(1-p)1-k k=0,1 即即0-1分布分布（2

10、）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ，贝努里概型对试验结果没有等可能的贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；且且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现“成功”次数 X 的概率分布。例例5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从个次品，现从中中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所个，求在所取的取的3个中恰有个中恰有2个次品的概率。个次品的概率。解解:依题意，依题意，p=0,1,2,3设设 X 为所取

11、的为所取的3个中的次品数。个中的次品数。则则 X B(3,0.05),于是，所求概率为于是，所求概率为：例例6设有设有80台台同类型设备，各台工作是相互独同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是，且一台设备立的，发生故障的概率都是，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，修工人的方法，其一其一是由是由4人维护，每人负人维护，每人负责责20台；其二台；其二是由是由3人共同维护人共同维护80台台。试比。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的维修的概率大小概率大小。X=第第1人维护的人维护

12、的20台中同一时刻故障台数；台中同一时刻故障台数；Ai：第：第i人维护的人维护的20台故障不能及时维修台故障不能及时维修”（i1，2，3，4）；）；解：解：按第一种方法按第一种方法。而而Xb（20，），），故有故有80台中发生故障而不台中发生故障而不能及时维修的概率为：能及时维修的概率为：设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；按第二种方法按第二种方法。第二种方法优于第一种方法第二种方法优于第一种方法此时Yb（80，），故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：PoissionPoission分布分布 例例 单位时间内某电话总机收单位时间内某电话总机收到的呼叫次数用到的呼叫次数用X表示，它是一

13、表示，它是一个离散型随机变量。个离散型随机变量。X=0，1，其中，其中，为常数为常数称称 X 服从服从 参数为参数为 的的Poisson分布分布，记为：，记为：泊松分布应用：n一本书一页上的印刷错误数n某医院一天内的急诊病人数n某公共汽车站候车的乘客数n母鸡的下蛋数n一平方米内，玻璃上的气泡数 它常与单位时间（单位面积、单位产品）上的计数过程相联系。二项分布的二项分布的Poisson近似近似泊松定理泊松定理其中其中 设设是一个正整数，是一个正整数，则有：，则有：n100，np10 时近似效果就很好时近似效果就很好 定定理理的的条条件件意意味味着着当当 n很很大大时时，pn 必必定定很很小小.因

14、因此此，泊泊松松定定理理表表明明，当当 n 很很大大，p 很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：其中其中 例 一本500页的书上共有500个错别字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错别字的概率。解 A：任一错字出现在给定页,P(A)=1/500 X：500个错字中出现在给定页上的错字数 Xb(500,1/500)例 假设某港口每天到达的万吨级船舶条数服从参数为2的泊松分布，试求在一年365天中，到达船数不超过一条的天数超过160天的概率？解：令X：每天到达的万吨级船舶条数 A：每天到达的万吨级船舶数不超过一条 Y：一年365天中的A事件发生的天数 我们看到很多题目中

15、，往往要求随机变量落在某一区间的概率，下面将提供一种更方便的工具分布函数。x定义 设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数为X 的分布函数。几何意义：Xx2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 分布函数的基本性质1.单调性单调性2.有界性有界性3.右连续性右连续性鉴别一个函数是否是某随机变量的分鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。布函数的充分必要条件。x 由定义知 X 落在区间(a，b 里的概率可用分布函数来计算：baaxaa-xx解：X 的分布律为 X012p7/157/151/15 例例1 1 求例2中的分布函数 并作图.012x 分布函数为 xxxx01

16、2x1F(x)的图形为:7/157/151/15右连续性一般情形为:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx离散随机变量的分布函数 F(x)是分段阶梯函数，是分段阶梯函数，在在 X 的可能取值的可能取值 xk 处发生间断，处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度在间断点处有跃度 pk例 向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数F(x),解 X：随机点到圆心的距离，0=Xrxyy=f(x)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度几何几何意义意义xX 对任意实数 x，若随机变量 X 的分布函数可写成：定义定义其中其中 ，则称，则称

17、 X 是连续型随机变是连续型随机变量，称量，称f(x)为为X 的概率密度函数，的概率密度函数，简称简称为密度函数或概率密度。为密度函数或概率密度。记为记为:概率密度概率密度 f(x)的性质的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。1.2.3.在在 f(x)的的连续点处有连续点处有4.对连续型随机变量对连续型随机变量 X 有：有：1.2.3.例例1 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为：的分布函数为：(1)求求X取值在区间取值在区间，0.7)的概率；的概率；(2)求求X的概率密度。的概率密度。解解:(1)P(0.3 0为未知参数，则称为未知参数，则

18、称 X 服从服从参数为参数为，的正态分布，记为：的正态分布，记为：正态分布 正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨量量,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。服从正态分布。0-+xy正态分布密度函数正态分布密度函数00.20.40.60.811.21.4动态动态演示演示称

19、X 服从标准正态分布标准正态分布概率密度函数为：概率密度函数为：分布函数为：分布函数为：的函数值可查的函数值可查正态分布表正态分布表。例：例：记为：记为：对标准正态分布，有：对标准正态分布，有：0 x-x引理：于是：例例3：这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）。可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.分位点分位点则则 称为标准正态分布的上称为标准正态分布的上 分位点。分位点。0常用 值：0.001 0.0050.010.0250.050.103.090 2.576 2.327 1.9601.645 1.282例2.5 2.

20、5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.例如，已知例如，已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V 的分布，的分布，求功率求功率 W=V 2/R 的分布的分布 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。上都是重要的。下面进行讨论。下面进行讨论。例例 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布求求 Y 1=

21、2X 1 与与 Y 2=X 2 的分布律的分布律解:X-1012p1/81/81/41/2Y1-3-113p1/81/81/41/2Y 1=2X 1 的分布律的分布律:解:Y2014p1/83/81/2X-1012p1/81/81/41/2Y 2=X 2 的分布律的分布律:结论设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：由已知函数由已知函数 g(x)可求出随机变量可求出随机变量 Y 的的所有可能取值，则所有可能取值，则 Y 的概率分布为：的概率分布为：连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布分布函数法分布函数法问题：方法：例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度解：解：yxy yx01y例例3 设 X 的概率密度函数为:求求的概率密度函数的概率密度函数解:yyy 00arcsin y-arcsin y1y0y 010y 010y 010y 01定理设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 又设又设函数函数 g(x)处处可导且恒有处处可导且恒有 （或有（或有 ），则），则 Y=g(X)是连续型随机变量，其密度函数为：是连续型随机变量，其密度函数为：h(y)是是 g(x)的反函数。的反函数。例例4 设证：证明：Y也服从正态分布。特别，当特别，当