D412正项级数的审敛准则.ppt

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1、目录上页下页返回结束第一节第一节(2)(2)常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 1目录上页下页返回结束1.21.2 正正项级数的数的审敛准准则若若定理定理 1.2 正正项级数数收收敛部分和数列部分和数列有界有界.若若收收敛,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.则称称为正正项级数数.单调递增增,收收敛,也收也收敛.证:“”“”特点特点:部分和部分和单调增增.2目录上页下页返回结束定理定理(比比较审敛法法I)I)设并且并且(1)若若则(2)若若则证:收收敛,也收也收敛;发散散,也也发散散.分分别表示两个表示两个级数的部分和数的部分和是两个是两个正正项级数数,证明的

2、基本思路与无明的基本思路与无穷积分的比分的比较准准则I相同相同.由于由于(2)是是(1)的逆否命的逆否命题，因此只，因此只证明明(1)即即可可.根据根据定理定理,级数数必收必收敛.3目录上页下页返回结束注注:根据性根据性质1.2,定理中的条件定理中的条件“”因因为改改变级数的有限数的有限项，不影响，不影响级数的数的敛散性散性可以改可以改为“”4目录上页下页返回结束推推论设且存在且存在对一切一切有有(1)若若强级数数则弱弱级数数(2)若若弱弱级数数则强级数数收收敛,也收也收敛;发散散,也也发散散.是两个是两个正正项级数数,(常数常数 k 0),5目录上页下页返回结束证明明级数数发散散.证:因因为

3、而而级数数发散散根据比根据比较审敛法可知法可知,所所给级数数发散散.例例1.1.6目录上页下页返回结束定理定理1.41.4(比比较审敛法的极限形式法的极限形式)则有有两个两个级数同数同时收收敛或或发散散;(2)当当 l=0(3)当当 l=设两正两正项级数数满足足(1)当当 0 l 0下面下面证明明,交交错级数数易易见上式右端的前上式右端的前n项之和就是之和就是级数数的的敛散性散性.时收收敛,特特别地地,当当p=1时,级数也是收数也是收敛的的.的和的和为ln2,并估并估计用用部分和近似代替部分和近似代替级数和数和时所所产生的余生的余项误差差.的部分和的部分和并且并且24目录上页下页返回结束Lei

4、bniz判判别法法是判是判别交交错级数收数收敛的充分条件的充分条件,故故级数数的和的和很多的交很多的交错级数和数和变号号级数不能用此法判数不能用此法判别.下面的下面的绝对收收敛准准则是更常用的一种判是更常用的一种判别法法.25目录上页下页返回结束绝对收收敛与条件收与条件收敛定定义:对任意的任意的级数数若若若原若原级数收数收敛,但取但取绝对值以后的以后的级数数发散散,收收敛,数数为条件收条件收敛.均均为绝对收收敛.例如例如：绝对收收敛；则称原称原级数数条件收条件收敛.则称原称原级26目录上页下页返回结束定理定理若若级数数证:因因为根据根据级数的数的Cauchy收收敛原理原理，收收敛.收收敛,收收

5、敛,则级数数也收也收敛若若级数数绝对收收敛，则必收必收敛.27目录上页下页返回结束例例7.7.证明下列明下列级数数绝对收收敛:证:(1)而而收收敛,收收敛因此因此绝对收收敛.28目录上页下页返回结束(2)令令因此因此收收敛,绝对收收敛.小小结29目录上页下页返回结束例例 讨论级数的数的敛散性散性,若收若收敛,是否是否绝对收收敛?证:(1)而而收收敛,30目录上页下页返回结束其和分其和分别为 绝对收收敛级数的性数的性质定理定理 绝对收收敛级数数重排重排后仍后仍绝对收收敛,而且和不而且和不变.(P275 定理定理)(证明明见 P275P277)定理定理1.11.(绝对收收敛级数的乘法数的乘法)则对

6、所有乘所有乘积 按按任意任意顺序序排列得到的排列得到的级数数也也绝对收收敛,设级数数与与都都绝对收收敛,其和其和为(P277 定理定理)说明明:绝对收收敛级数有数有类似似有限有限项和和的性的性质,但条件收但条件收敛级数不具有数不具有这两条性两条性质.绝对收收敛级数与条件收数与条件收敛级数具有完全不同的性数具有完全不同的性质.31目录上页下页返回结束THE END32目录上页下页返回结束内容小内容小结2.判判别正正项级数数敛散性的方法与步散性的方法与步骤必要条件必要条件不不满足足发 散散满足足比比值审敛法法根根值审敛法法收收 敛发 散散不定不定 比比较审敛法法用它法判用它法判别积分判分判别法法部

7、分和极限部分和极限33目录上页下页返回结束3.3.任意任意项级数数审敛法法为收收敛级数数Leibniz判判别法法:则交交错级数数收收敛概念概念:绝对收收敛条件收条件收敛34目录上页下页返回结束思考与思考与练习设正正项级数数收收敛,能否推出能否推出收收敛?提示提示:由比由比较判判敛法可知法可知收收敛.注意注意:反之不成立反之不成立.例如例如,收收敛,发散散.35目录上页下页返回结束备用用题1.判判别级数的数的敛散性散性:解解:(1)发散散,故原故原级数数发散散.不是不是 p级数数(2)发散散,故原故原级数数发散散.36目录上页下页返回结束 作业作业 P266 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);*3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三第三节 37目录上页下页返回结束2.2.则级数数(A)发散散;(B)绝对收收敛;(C)条件收条件收敛;(D)收收敛性根据条件不能确定性根据条件不能确定.分析分析:(B)错;又又C38