D31中值定理-师大使用.ppt

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1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 一、罗尔（一、罗尔（Rolle）定理）定理(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b)使使证证:故在故在 a,b 上取得最大上取得最大值值 M 和最小值和最小值 m.若若 M=m,则

2、则因此因此在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 满足满足:如果如果若若 M m,则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使因此，因此，机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b)满足满足:如果如果使使在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点有有 从而由费从而由费引理知引理知注意注意:1)定理条件不全具备定理条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如,机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 例例1.证明方程证明方程有且仅有一个正实根有且仅有一个正实根.证证:1)存在性存在性.则则在在 0,1 连续连续,且且由介值定理知存在由介值定理知存在使使即方程有一个正根。即方程有一个正根。2)唯一性唯一性.假设另有假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点至少存在一点但但矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 课后练习题课后练习题5二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间在区间 a,b 上连上连续续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导至少存在一点至少存在一点使使思路思路:利用利用逆向思维逆向思维找出一

4、个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然,在在 a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且证法证法2:问题转化为证问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立即定理结论成立.拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕证毕证证法法1满足满足:如果如果拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:推论推论:若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足则则在在 I 上必为常数上必为常数.证证:在在 I 上任取两点上任取两点日中值公式日中值公式,得得由由 的任意性知的任意性知,在在 I 上为常数上为常数.设

5、设则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理的几定理的几点说明点说明例例2.证明等式证明等式证证:设设由推论可知由推论可知 (常数常数)令令 x=0,得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:经验经验:欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明不等式证明不等式证证:设设中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故因此应有因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用几利用几何事实何事实引出柯引出柯西中值西中值定理定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连上连续续(2

6、)在开区间在开区间(a,b)内可内可导导(3)在开区间在开区间(a,b)内内至少存在一点至少存在一点使使要证要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 及及满足满足:如果如果证证:作辅助函数作辅助函数且且使使即即由罗尔定理知由罗尔定理知,至少存在一点至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?两个两个 不不一定相同一定相同错错!机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论.关于定关于定理的几理的几点说明点说明例例4.设设至少存在一点至少存在一点使使证证:结论可变形为结论可变形为设设则则在在 0,1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件

7、,因此在因此在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点 ,使使即即证明证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用微分中值定理的应用

8、(1)证明恒等式证明恒等式(2)证明不等式证明不等式(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动

9、目录 上页 下页 返回 结束 4.思考:在即当时问问是否可由此得出 不能不能!因为是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.应用拉格朗日中值定理得上对函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 证明对任意有证证：2.不妨设机动 目录 上页 下页 返回 结束