D32偏导数与全微分.ppt

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1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、高阶偏导数及高阶全微分高阶偏导数及高阶全微分四、复合函数的偏导数和全微分四、复合函数的偏导数和全微分 偏导数与全微分 第三章 二、高阶偏导数及高阶全微分二、高阶偏导数及高阶全微分1.设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 偏导数为例例5.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等2.设设 有全微分有全微分对其

3、再求全微分得对其再求全微分得以此类推以此类推 .。1.多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,四、复合函数的偏导数和全微分四、复合函数的偏导数和全微分 (全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明说明:例如例如:易知:对复合函数偏导数连续可偏导数连续可减弱为可微，但可微，但减弱为偏导数存在偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.实际上 f(u,

4、v)在(0,0)亦不可微。例例1.1.设设 求全导数求全导数解解:推广若推广若机动 目录 上页 下页 返回 结束 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：例如例例2.设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 再如再如即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似例例3.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：多元抽象

5、复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.练习练习1.1.设设 f 具有连续偏导数具有连续偏导数,求求 2.2.设设f 具有连续偏导数具有连续偏导数,求求为简便起见,引入记号例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知已知(当 在二、三象限时,)例例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解:已知极坐标系下的形式(1),则机动 目录 上页 下页 返回 结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 已知注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下

6、页 返回 结束 同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 2.多元复合函数的全微分多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例2.解解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束