双曲线考点与题型归纳(共16页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上双曲线考点与题型归纳一、基础知识1双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距当|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.若2a2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a2c，则轨迹不存在；若2a0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0

2、，b0)(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)3双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)范围|x|a，yR|y|a，xR对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率e (1，) e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线yxyxa，b，c的关系a2c2b2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为

3、，也叫通径(2)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca. 典例(1)(2018石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1B.1Cx21 D.1(2)(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析(1)

4、法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得无解故该双曲线的标准方程为x21，选C.法二：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时，y23，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为yx，即x，所以可设双曲线的方程是x2(0)，将点(2,3)代入，得1，所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，

5、则A，B.又双曲线的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，所以b3.又由e2，知a2b24a2，所以a.所以双曲线的方程为1.法二：由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线 1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1，故选C.答案(1)C(2)C题组训练1已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|PF2|4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为()A.y21 B.1Cx21 D.1解析：选A由题意可得解得则该双曲线的标准方程为y21.2已知双曲线1(a0，b0)

6、的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为()A.1 Bx21C.1 Dx21解析：选A因为双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的标准方程为1.3经过点P(3,2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为_解析：设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(6，7)，所以解得故所求双曲线方程为1.答案：1考法(一)利用双曲线的定义求双曲线方程典例已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x )B.1(x)C.1(x ) D.1(x)解析设动圆的半

7、径为r，由题意可得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|22a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故动圆圆心M的轨迹方程为1(x )答案A解题技法利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程考法(二)焦点三角形问题典例已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8解析由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2

8、|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4.答案B 解题技法在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义涉及焦点三角形的面积问题，若顶角已知，则用SPF1F2|PF1|PF2|sin ，2a及余弦定理等知识；若顶角未知，则用SPF1F22c|y0|来解决 题组训练1已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为

9、()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0) D.1(x0)解析：选B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945，所以点P的轨迹方程为1(x0)2已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12 D6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SF1PF2|PF1|PF2|24.考法(一)求双曲线的离心率(或范围) 典例(20

10、18长春二测)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C(1,2 D.解析由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以|PF2|，由双曲线上的点到焦点的最短距离为ca，可得ca，解得， 即e，又双曲线的离心率e1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.答案B解题技法1求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解2求离心率的口诀归纳离

11、心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中 考法(二)求双曲线的渐近线方程典例(2019武汉部分学校调研)已知双曲线C：1(m0，n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0解析由题意知，椭圆中a5，b4，椭圆的离心率e ，双曲线的离心率为 ，双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0.故选A.答案A 解题技法求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲

12、线方程为(a0，b0，0)题组训练1(2019潍坊统一考试)已知双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A1 B.C2 D2解析：选C由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b，即c2a23，又e2，所以a1，该双曲线的实轴的长为2a2.2已知直线l是双曲线C：1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若0，则点P到x轴的距离为()A. B.C2 D.解析：选C由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，不妨设直线l的方程为yx，设P(x0，x0)由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得

13、x0，故点P到x轴的距离为|x0|2，故选C.3(2019成都一诊)如图，已知双曲线E：1(a0，b0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|6，|BC|，则双曲线E的离心率为()A. B.C. D.解析：选B根据|AB|6可知c3，又|BC|，所以，b2a，所以c2a2a9，解得a2(舍负)，所以e.4(2018郴州二模)已知双曲线1(m0)的一个焦点在直线xy5上，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选B由双曲线1(m0)的焦点在y轴上，且在直线xy5上，直线xy5与y轴的交点为(0,5)，有c5，则m925，得m

14、16，所以双曲线的方程为1，故双曲线的渐近线方程为yx.故选B.A级1(2019襄阳联考)直线l：4x5y20经过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为()A.B.C. D.解析：选A由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，4)，从而c5，b4，a3，双曲线C的离心率e.2设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|6，则|PF2|()A6 B4C8 D4或8解析：选D由双曲线的标准方程可得a1，则|PF1|PF2|2a2，即|6|PF2|2，解得|PF2|4或8.3(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的

15、离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选De，1.双曲线的渐近线方程为xy0.点(4,0)到C的渐近线的距离d2.4若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B虚半轴长相等C实半轴长相等 D焦距相等解析：选D由0k0)的离心率为，则a_.解析：由e ，得，a216.a0，a4.答案：48过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|_.解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入x20，得y212，y2，故|AB|4.答案：49(2018海淀期末)双曲线

16、1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：210(2018南昌摸底调研)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作圆(xa)2y2的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为_解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为yx，由题意可知该切线方程为y(xc)，即axbyac0.圆(xa)2y2的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切

17、线的距离d，又e，则e24e40，解得e2，所以双曲线C的离心率e2.答案：211已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4， )，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则(23，m)，(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1M

18、F246.12中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解：(1)由题知c，设椭圆方程为1(ab0)，双曲线方程为1(m0，n0)，则解得a7，m3.则b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，所以cosF1PF2.B级1已知圆(x1)2y2的一

19、条切线ykx与双曲线C：1(a0，b0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(，) D(2，)解析：选D由题意，知圆心(1,0)到直线kxy0的距离d，k，由题意知，14，即4，e2.2(2019吉林百校联盟联考)如图，双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选B|NF1|2|MF1|，M为NF1的中点，又OMF1N，F1OMNOM，又F1OMF2ON，F2ON60，双曲线C的渐近

20、线的斜率ktan 60，即双曲线C的渐近线方程为yx.故选B.3设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为y x，bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840， 则x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，点D的坐标为(4，3)专心-专注-专业