哈工大-数值分析上机实验报告(共27页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上实验报告一题目：非线性程求解摘要：非线性程的解析解通常很难给出，因此线性程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的程f(x)，其在a,b上连续，f(a)f(b)0，且f(x)在a,b仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12

2、(c)0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear% 输入函数f=input(请输入需要求解函数,s)%求解f(x)的导数df=diff(f);%改进常数或重根数miu=2;%初始值x0x0=input(input initial value x0);k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,x0,x);%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)1e-8) x1=x0-miu*eval(subs(f,x0,x)/eval(sub

3、s(df,x0,x); R=x1-x0; x0=x1; k=k+1;if (eval(subs(f,x0,x)max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input(maybe result is error,choose a new x0,y/n?,s); if strcmp(ss,y) x0=input(input initial value x0); k=0; else break end endendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1. 用二分法计算程在1，2的根。(,下同)计算结果为x= 1.523；f(x)= -3.4311e-007；

4、k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，法收敛速度比较慢。2. 用二分法计算程在1，1.5的根。计算结果为x= 1.180；f(x)= 2.4815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3. 用Newton法求解下列程a) x0=0.5；计算结果为x= 0.978；f(x)= 2.0313e-016；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b) x0=1；c) x0=0.45, x0=0.65； 当x0=0.45时，计算结果为x= 0.983；f(x)= -8.4584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，

5、而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x= 0.000；f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x00.68时，x1，就变成了程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取 x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改时，结果收敛为x=0.286；f(x)=4.1127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至程的

6、2重根上。当x0=0.85时，结果收敛为x= 1.489；f(x)= 2.8737e-；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论： 对于二分法，只要能够保证在给定的区间有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初

7、值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。实验报告二题目： Gauss列主元消去法摘要：求解线性程组的法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的法对程组进行求解。前言：（目的和意义）1. 学习Gauss消去法的原理。2. 了解列主元的意义。3. 确定什么时候系数阵要选主元数学原理：由于一般线性程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若=0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因

8、此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行r，使得并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下：1. 消元过程对k=1,2,n-1,进行如下步骤。1) 选主元，记若很小，这说明程的系数矩阵重病态，给出警告，提示结果可能不对。2) 交换增广阵A的r，k两行的元素。 (j=k,n+1)3) 计算消元 (i=k+1,n; j=k+1,n+1)2. 回代过程对k= n, n-1,1,进行如下计算至此，完成了整个程组的求解。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。 Gauss消去法源程序：cleara=input(输入系

9、数阵：n)b=input(输入列阵b：n)n=length(b);A=a bx=zeros(n,1);%函数主体for k=1:n-1;%是否进行主元选取if abs(A(k,k)abs(t) p=r; else p=k; end end %交换元素 if p=k; for q=k:n+1; s=A(k,q); A(k,q)=A(p,q); A(p,q)=s; end end end %判断系数矩阵是否奇异或病态非常重if abs(A(k,k) yipusilongdisp(矩阵奇异，解可能不正确)end %计算消元,得三角阵 for r=k+1:n; m=A(r,k)/A(k,k); for

10、 q=k:n+1; A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m; end endend %求解x x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); for k=n-1:-1:1; s=0; for r=k+1:n; s=s+A(k,r)*x(r); end t=(A(k,n+1)-s) x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)end结果分析和讨论：例：求解程。其中为一小数，当时，分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果。记Emax为求出的解代入程后的最大误差，按要求，计算结果如下：当时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同。

11、0.391 0.651 2.972 2.163 2.451 2.721Emax= 9.2624e-，0此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。当时，不选主元和选主元的计算结果如下 1.877 0.348 1.807 2.174 3.731 2.609Emax= 2.4668e-005，0此时由Emax可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。当时，不选主元和选主元的计算结果如下 1.020 1.000 1.666 2.000 3.111 0000Emax= 0.503，0此时由Emax可以看出，不选主

12、元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引起的。当时，不选主元和选主元的计算结果如下NaN 1NaN 2NaN 3Emax=NaN, 0不选主元时，程序报错：Warning: Divide by zero.。这是因为机器计算的最小精度为10-15，所以此时的就认为是0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由Emax可以看出选主元时的结果应该是精确解。结论：采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于10-5），那么本法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减少机器误差带来的影响，使法得出的结果正确。实验报告三题目：

13、 Rung现象产生和克服摘要：由于高次多项式插值不收敛，会产生Runge现象，本实验在给出具体的实例后，采用分段线性插值和三次样条插值的法有效的克服了这一现象，而且还取的很好的插值效果。前言：（目的和意义）1. 深刻认识多项式插值的缺点。2. 明确插值的不收敛性怎样克服。3. 明确精度与节点和插值法的关系。数学原理：在给定n+1个节点和相应的函数值以后构造n次的Lagrange插值多项式，实验结果表明（见后面的图）这种多项式并不是随着次数的升高对函数的逼近越来越好，这种现象就是Rung现象。解决Rung现象的法通常有分段线性插值、三次样条插值等法。分段线性插值：设在区间a, b上，给定n+1个

14、插值节点a=x0x1xn=b和相应的函数值y0，y1，yn，求作一个插值函数，具有如下性质：1) ，j=0，1，n。2) 在每个区间xi, xj上是线性连续函数。则插值函数称为区间a, b上对应n个数据点的分段线性插值函数。三次样条插值：给定区间a, b一个分划 ：a=x0x1xN=b 若函数S(x)满足下列条件：1) S(x)在每个区间xi, xj上是不高于3次的多项式。2) S(x)及其2阶导数在a, b上连续。则称S(x)使关于分划的三次样条函数。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待插值的程写成function的式，如下function y=f(x);y=1/（1+25*

15、x*x）;写成如上形式即可，下面给出主程序 Lagrange插值源程序：n=input(将区间分为的等份数输入：n);s=-1+2/n*0:n;%给定的定点，Rf为给定的函数x=-1:0.01:1;f=0;for q=1:n+1; l=1;%求插值基函数 for k=1:n+1; if k=q; l=l.*(x-s(k)./(s(q)-s(k); else l=l; end end f=f+Rf(s(q)*l;%求插值函数endplot(x,f,r)%作出插值函数曲线grid on hold on分段线性插值源程序clearn=input(将区间分为的等份数输入：n);s=-1+2/n*0:n

16、;%给定的定点，Rf为给定的函数m=0;hh=0.001;for x=-1:hh:1; ff=0; for k=1:n+1;%求插值基函数 switch k case 1 if xs(n); l=(x-s(n)./(s(n+1)-s(n); else l=0; end otherwise if x=s(k-1)&x=s(k)&xR);%精度控制 j=j+1; s=0; for p=1:2(j-2); s=s+f(a+(2*p-1)*h/(2(j-1); end T(1,j)=T(1,j-1)/2+h*s/(2(j-1); %梯形公式应用 for m=2:j; k=(j-m+1); T(m,k)

17、=(4(m-1)*T(m-1,k+1)-T(m-1,k)/(4(m-1)-1); endend%给出 Romberg积分法的函数表I=T(m,1)结果分析和讨论： 进行具体的积分时，精度取R=1e-8。1. 求积分。精确解I= 。运行程序得Romberg积分法的函数表为1.0e+007 * 4.000 3.000 2.000 2.000 2.000 0 2.000 0 0由函数表知Romberg积分给出的结果为2.*107，与精确没有误差，精度很高。2. 求积分。精确解I=ln3= 1.811。运行程序得Romberg积分法的函数表为1.333 1.667 1.667 1.068 1.303 1.846 1.5591.111 1.000 1.535 1.048 1.027 1.130 01.926 1.371 1.749 1.625 1.937 0 01.600 1.533 1.306 1.164 0 0 01.313 1.850 1.179 0 0 0 01.593 1.046 0 0 0 0 01.019 0 0 0 0 0 0从积