导数定义及公式(共7页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上导数：1.若f(x)=c,则f（x）=2. 若f(x)=xn（nQ*），则f（x）=3. 若f(x)=sinx,则f（x）=4.若f(x)=cosx,则f（x）=5. 若f(x)= ax,则f（x）=6. 若f(x)= ex,则f（x）=7. 若f(x)= logax,则f（x）=8. 若f(x)= lnx,则f（x）=9.【fxg(x)】=10. 【fx.g(x)】=11.【fxg(x)】=12. 【cfx】=13. y=fu,u=g(x)，则y=f（g（x）； yx= sin2x= （e-x）=#导数：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是 x0lim

2、y x= x0limfx0+x-f(x0)x,称函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作： f（x）或yx=x0。即 f（x0）=x0limy x= x0limfx0+x-f(x0)x。#函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线斜率，也就是说曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线斜率是f（x0）。相应地，过p点的切线方程为：y-f（x0）=f（x0）（x-x0）#导函数：如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，就说函数f（x）在开区间（a，b）内可导。若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内

3、每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数（简称导数）记作f（x）或y或yx。即f（x）=y=x0limy x= x0limfx+x-f(x)x一、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f（x），那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f（x），则f（x）严格增函数；如果f（x）是f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。求函数单调区间的步骤：. 确定y=f（x）的定义域；. 求导数f（x），求出f（x）的根；. 函数的无定义点和f（x）的根将f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内f（x）的符号，

4、进而确定f（x）的单调区间。注意：.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“”连接，只能用逗号或“和”字隔开。. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。二、函数的极值：.定义，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则称f（x0）是函数f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。.判断f（x0）是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f（x）；第二步，求方程f（x）的根；第三步，检查f（x）在f（x）的根左右两侧的值的符号；.如果“左正右负”，那么f（x）在

5、这个根处取到极大值；.如果“左负右正”，那么f（x）在这个根处取到极小值；. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程f（x）的根，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。函数在极值点的导数为，但导数为的点不一定是极值点，如函数f（x）x3，点x就不是极值点，但f（）；函数的极大值不一定大于极小值；在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点。三函数的最值：设函数y=f（x）是定义在区间a，b上的函数，y=f（x）在区间（a，b）内有导数，求y=f（x）在a，b上的最大值与最小值，其步骤为：先求函数y

6、=f（x）在（a，b）内的极值；再将函数y=f（x）的各极值与端点的函数值f（a）、f（b ）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。如果在区间a，b 上，函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，则函数在a，b 上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或端点处取得。提示：.若函数y=f（x）在区间a，b上单调递增，则f（a）为最小值，f（b）为最大值；若若函数y=f（x）在区间a，b上单调递减，则f（a）为最大值，f（b）为最小值。.图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果图象连续不断的函数在开区间（a，b）上只有一个极值，则该极值就是最值。

7、.函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为的点讨论，其是极大值还是极小值，只需将导数为的点的函数和端点函数值时行比较。在解决实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义只有一个点使f（x）的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能知道是最大（小）值。不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来，而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。四定积分及应用定积分定义：若函数y=f（x）在区间a，b上连续用分点a=x0x1xi-1xixn=b,将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1，xi上任取一点i（i=1，2，3，n

8、），作和式i=1nf（i）x=i=1nb-anf（i），当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫函数y=f（x）在区间a，b上定积分，记作abf（x）dx。即abf（x）dxnlimi=1nb-anf（i）其中f（x）叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。定积分abf（x）dx不是一个表达式，是一个常数。定积分几何意义：从几何上看，若函数y=f（x）在区间a，b上连续且恒有f（x），那么定积分abf（x）dx表示直线x=a,x=b（ab），y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积；定积分性质：abkf（x）dx=kabf（x）dx(k为常数)abfxg()dx=abf（x）dx

9、abg（x）dx abf（x）dx =-baf（x）dx 以上是线性性质，下面是对区间可加性acf（x）dx abf（x）dx +bcf（x）dx （abc）微积分基本定理牛顿莱布尼兹公式一般地，如果f（x）在区间a，b上的连续函数，并且（x）f（x），那么abf（x）dx （b）（a）。定积分的简单应用：一、 求平面图形面积的应用. 定积分与平面图形面积的关系通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也可为.（） 当对应的曲边梯形位于轴上方，定积分值取正值，且等于曲边梯形的面积；（） 当对应的曲边梯形位于轴下方，定积分值取负值，且等于曲边梯形面积的相反数；（） 当位于轴上方的曲边梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为，且等于位于轴上方的曲边梯形的面积减去位于轴下方的曲边梯形的面积。. 利用定积分求平面图形面积的步骤（） 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（） 借助图形确定被积分函数，求出交点坐标，确定积分上、下限；（） 将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（） 计算并求出结果二、 定积分在物理学中的应用. 求变速直线运动的路程 s=abv（t）dt. 求变力F所做的功 w=abF（x）dx专心-专注-专业