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(完整word版)2016高考数学复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用..(良心出品必属精品).pdf

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1、1 数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题1 数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其

2、中 an，bn 分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和这种方法，适用于求通项为1anan1的数列的前 n 项和，其中an 若为等差数列，则1anan11d1an1an1.常见的拆项公式：11n1n1；精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 1 页，共 20 页 -2 11k(1n1nk)；112(12n112n1)；

3、1nnk1k(nkn)2 数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项 an1(或前 n 项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问

4、题.考点一分组转化求和法例 1 等比数列 an 中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3 2 10 第二行6 4 14 第三行9 8 18(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足：bnan(1)nln an，求数列 bn 的前 n 项和 Sn.解(1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 2 页，共 20 页 -文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编

5、码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y1

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7、 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文

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11、1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z1文档编码:CC1C8C3G1Y10 HL2Z7O7Q6Y8 ZA5I9Y8K9Z13 当 a110 时，不合题意因此 a12，a26，a318.所以公比 q3.故 an23n1(nN*)(2)因为 bnan(1)nln an23n1(1)nln(2 3n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2 ln 3)(1)nnln 3，所以 Sn2(13 3n1)111(1)n(ln 2 ln 3)123(1)

12、nnln 3.当 n 为偶数时，Sn213n13n2ln 3 3nn2ln 3 1；当 n 为奇数时，Sn213n13(ln 2 ln 3)n12n ln 3 3nn12ln 3 ln 2 1.综上所述，Sn3nn2ln 3 1，n为偶数，3nn12ln 3 ln 2 1，n 为奇数.在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式(2013安徽)设数列an 满足

13、 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数 f(x)(anan1an2)x an1cos x an2sin x满足 f 20.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn2 an12an，求数列 bn的前 n 项和 Sn.精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 3 页，共 20 页 -文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF

14、9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编

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20、4 ZF9Q1J2J10U34 解(1)由题设可得 f(x)(anan1an2)an1sin x an2cos x，又 f 20，则 anan22an10，即 2an1anan2，因此数列 an 为等差数列，设等差数列 an 的公差为 d，由已知条件a122a14d8，解得a12，d1，ana1(n1)dn1.(2)bn2n112n12(n1)12n，Snb1b2 bn(n3)n112nn23n112n.考点二错位相减求和法例 2(2013山东)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，a2n2an1.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足b1a1b2a2bnan

21、112n，nN*，求bn 的前 n 项和 Tn.解(1)设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，由S44S2，a2n2an1得 a11，d2，所以 an2n1(nN*)(2)由已知b1a1b2a2bnan112n，nN*，当 n2时，b1a1b2a2bn1an1112n1，得：bnan12n，精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 4 页，共 20 页 -文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1

22、J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:C

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28、F9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U35 又当 n1 时，b1a112也符合上式，所以bnan12n(nN*)，所以 bn2n12n(nN*)所以 Tnb1b2b3 bn123225232n12n.12Tn1223232n32n2n12n1.两式相减得：12Tn1222222322n2n12n13212n12n12n1.所以 Tn32n32n.错位相减法求数列的前n 项和是一类重要方法在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题设数列 an 满足 a12，

29、an1an322n1.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bnnan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解(1)由已知，得当 n1 时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n3 2)222(n1)1.而 a12，符合上式，所以数列 an 的通项公式为 an22n1.(2)由 bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而 22Sn123225327n22n1.精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 5 页，共 20 页 -文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N

30、6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1

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32、I1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY

33、5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9

34、Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码

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36、HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U36 得(122)Sn22325 22n1n22n1，即 Sn19(3n 1)22n12 考点三裂项相消求和法例 3(2013广东)设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 4Sna2n14n1，nN*,且 a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a24a15；(2)求数列 an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a21a2a31anan10，a24a15.

37、(2)解当 n2时，4Sn1a2n4(n1)1，4an4Sn4Sn1a2n1a2n4，即 a2n1a2n4an4(an2)2，又 an0，an1an2，当 n2时，an 是公差为 2 的等差数列又 a2，a5，a14成等比数列a25a2a14，即(a26)2a2(a224)，解得 a23.由(1)知 a11.又 a2a1312，数列 an 是首项 a11，公差 d2 的等差数列an2n1.(3)证明1a1a21a2a31anan1113135157112113131512n112n112112n10)中，a13，此数列的前 n 项和为 Sn，对于所有大于 1 的正整数 n 都有 Snf(Sn1

38、)(1)求数列 an 的第 n1 项；(2)若bn是1an1，1an的等比中项，且 Tn为bn的前 n 项和，求 Tn.解(1)因为x，2，3(x 0)成等差数列，所以 22x3，整理，得 f(x)(x3)2.因为 Snf(Sn1)(n 2)，所以 Sn(Sn13)2，所以SnSn13，即SnSn13，所以Sn是以3为公差的等差数列因为 a13，所以 S1a13，所以SnS1(n1)333n33n.所以 Sn3n2(nN*)所以 an1Sn1Sn3(n1)23n26n3.(2)因为bn是1an1与1an的等比中项，所以(bn)21an11an，所以 bn1an11an1精品资料-欢迎下载-欢迎

39、下载名师归纳-第 7 页，共 20 页 -文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9

40、Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码

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42、HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 Z

43、F9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档

44、编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z

45、9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U38 11812n112n1，Tnb1b2 bn118113131512n112n1118112n1n18n9.考点四数列的实际应用例 4(2012湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 0

46、00万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an1与 an的关系式；(2)若公司希望经过 m(m 3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m表示)(1)由第 n 年和第(n1)年的资金变化情况得出an与 an1的递推关系；(2)由 an1与 an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解解(1)由题意得 a12 000(1 50%)d3 000d

47、，a2a1(150%)d32a1d4 50052d.an1an(150%)d32and.(2)由(1)得 an32an1d3232an2d d 322an232dd32n1a1d 13232232 n2.整理得 an32n1(3 000 d)2d32n1132n1(3 000 3d)2d.精品资料-欢迎下载-欢迎下载名师归纳-第 8 页，共 20 页 -文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10

48、U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z

49、8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7

50、H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J10U3文档编码:CI1Q1Z8P6Z9 HY5N6V7H3L4 ZF9Q1J2J

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4.3 金币

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