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(完整word版)高数重要知识点.pdf

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1、1高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一.函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim,0)(limxgxf且lxgxf)()(lim（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f(x)=0)(xg，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l 0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称 f(x)与g(x)是等价无穷小，记以 f(x)g(x)2 常见的等价无穷小当x 0时sin x x，tan x x，xarcsin x，xarccos x 1-cos x 2/2x，xe-1 x，)1ln(x x，1)1(x x二求极限的方法1两个准则准则 1单调有界数列极限一定

2、存在准则2（夹逼定理）设g(x)f(x)h(x)放缩求极限若AxhAxg)(lim,)(lim，则Axf)(lim2两个重要公式公式 11sinlim0 xxx公式 2exxx/10)1(lim3用无穷小重要性质和等价无穷小代换4用泰勒公式当 x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(.!5!3sin)(!.!3!2112125332nnnnnxxonxxxxxxonxxxxe)(!2)1(.!4!21cos2242nnnxonxxxx2)()1(.32)1ln(132nnnxonxxxxx)(!)1().(1(.!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)(12)1(.5

3、3arctan1212153nnnxonxxxxx5洛必达法则定理 1 设函数)(xf、)(xF满足下列条件：（1）0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xFxx；（2）)(xf与)(xF在0 x的某一去心邻域内可导，且0)(xF；（3）)()(lim0 xFxfxx存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim0 xFxfxx存在时，)()(lim0 xFxfxx也存在且等于)()(lim0 xFxfxx；当)()(lim0 xFxfxx为无穷大时，)()(lim0 xFxfxx也是无穷大这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（HLosp

4、ital）法则.例 1 计算极限0e1limxxx.解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e1limxxx0elim11xx.例 2 计算极限0sinlimsinxaxbx解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得00sincoslimlimsincosxxaxaaxabxbbxb注若(),()fxgx仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()limlimlim()()()xaxaxaf xfxfxg xg xgx二、型未定式定理 2设函数)(xf、)(xF满足下列条件：（1）)(lim0 xfxx，)(lim0 xFxx；（2）)(xf与)(xF在

5、0 x的某一去心邻域内可导，且0)(xF；（3）)()(lim0 xFxfxx存在（或为无穷大），则)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxx)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxx文档编码:CB2Z2I6W2S4 HV9M2N6R3N9 ZK3C2M7Y6R5文档编码:CB2Z2I6W2S4 HV9M2N6R3N9 ZK3C2M7Y6R5文档编码:CB2Z2I6W2S4 HV9M2N6R3N9 ZK3C2M7Y6R5文档编码:CB2Z2I6W2S4 HV9M2N6R3N9 ZK3C2M7Y6R5文档编码:CB2Z2I6W2S4 HV9M2N6R3N9 ZK3

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12、行洛必达法则，有limenxxx1limenxxnx2(1)limenxxn nx!lim0exxn使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在 7 利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0000 xfxxfxxfx(如果存在）8利用定积分定义求极限基本格式101)()(1limdxxfnkfnnkn（如果存在）三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类

13、间断点设0 x是函数y=f(x)的间断点。如果 f(x)在间断点0 x处的左、右极限都存在，则称0 x是f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间 a,b 上连续的函数 f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，则 f(x)必在 a,b 上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间 a,b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和最小值 m。

14、文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:C

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20、S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T14定理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间 a,b 上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和m，则对于介于 m和M 之间的任何实数 c，在 a,b 上至少存在一个，使

21、得 f()=c 推论：如果函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，且 f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点，使得 f()=0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1.复合函数运算法则设y=f(u)，u=?(x)，如果?(x)在x处可导，f(u)在对应点 u处可导，则复合函数y=f?(x)在x处可导，且有)()(xxfdxdududydxdy对应地dxxxfduufdy)()()(，由于公式duufdy)(不管u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。2.由参数方程确定函数的运算法则设x=?(t)，y=)(t确定函数y=y(x)，其中)(),(tt存在，且)(

22、t 0，则)()(ttdxdy二阶导数3)()()()()(22tttttdxdtdtdxdyddxdxdyddxyd3.反函数求导法则设y=f(x)的反函数 x=g(y)，两者皆可导，且 f(x)0 则)0)()(1)(1)(xfygfxfyg4 隐函数运算法则（可以按照复合函数理解）设y=y(x)是由方程 F(x,y)=0所确定，求 y的方法如下：把F(x,y)=0两边的各项对 x求导，把 y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y 的表达式（允许出现 y 变量）5 对数求导法则（指数类型如xxysin）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于：幂指

23、函数求导数多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域 P106 例6）关于幂指函数 y=f(x)g(x)常用的一种方法,y=)(ln)(xfxge这样就可以直接用文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X

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29、1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T15复合函数

30、运算法则进行。6 可微与可导的关系f(x)在0 x处可微?f(x)在0 x处可导。7 求n阶导数（n 2，正整数）先求出 y,y,总结出规律性，然后写出 y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式（1）xnxeyey)(,（2）nxnxaayay)(ln,)(（3）xysin,)2sin()(nxyn（4）xycos,)2cos()(nxyn(5)xyln,nnnxny)!1()1(1)(文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4

31、Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5

32、L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ1

33、0L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4

34、K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 Z

35、T8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7

36、J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档

37、编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T16第三章微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数 f(x)满足（1）在闭区间 a,b 上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)则存在 (a,b)，使得 f()=0 二拉格朗日中值定理（证明不等式 P134 9、10）设函数 f(x)满足（1）在闭区间 a,b 上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则存在 (a,b)，使得)

38、()()(fabafbf推论1若f(x)在(a,b)内可导，且 f(x)0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(x)，g(x)在(a,b)内皆可导，且 f(x)g(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中 c为一个常数。三柯西中值定理设函数 f(x)和g(x)满足：（1）在闭区间 a,b上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0则存在(a,b)使得)()()()()()(gfagbgafbf)(ba（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四泰勒公式（估值求极限（麦克劳林）P145 T10）定

39、理 1（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式）设f(x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项对常用的初等函数如xe,sin x,cos x,ln(1+x)和)1(x（为实常数）等的 n阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）设f(x)在包含 0 x 的区间(a,b)内有n+1阶导数，在 a,b 上有n阶连续导数，则对 xa,b，有公式，,称为拉格朗日余项上面展开式称为以 0 x 为中心的 n 阶泰勒公式。当0 x=0 时，也称为 n阶麦克劳林公式。文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ

40、10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W

41、4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6

42、ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S

43、7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文

44、档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA

45、4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I

46、5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T17导数的应用一基本知识设函数 f(x)在0 x处可导，且0 x为f(x)的一个极值点，则0)(0 xf。我们称 x 满足0)(0 xf的0 x称为)(xf的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法第一充分条

47、件)(xf在0 x的邻域内可导，且0)(0 xf，则若当0 xx时,0)(xf，当0 xx时，0)(xf，则0 x为极大值点；若当0 xx时，0)(xf，当0 xx时，0)(xf，则0 x为极小值点；若在0 x的两侧)(xf不变号，则0 x不是极值点.第二充分条件)(xf在0 x处二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则若0)(0 xf，则0 x为极大值点；若0)(0 xf，则0 x为极小值点.二凹凸性与拐点1凹凸的定义设f(x)在区间 I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x,x，恒有则称f(x)在I 上是凸（凹）的。在几何上，曲线 y=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y

48、=f(x)是凸（凹）的。如果曲线 y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y=f(x)是凸（凹）的。2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3 凹凸性的判别和拐点的求法设函数 f(x)在(a,b)内具有二阶导数)(xf，如果在(a,b)内的每一点 x，恒有)(xf 0，则曲线 y=f(x)在(a,b)内是凹的；文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码

49、:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9

50、X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2 HQ10L10W4K3U6 ZT8N3S7J4T1文档编码:CA4Z9X6I5L2

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4.3 金币

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