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(完整word版)数学分析求极限的方法.pdf

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1、1 求极限的方法具体方法利用函数极限的四则运算法则来求极限定理 1：若极限)(lim0 xfxx和)(limxgxx都存在，则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0 xx时也存在且)()()()(limlimlim0.00 xgxfxgxfxxxxx)()()()(limlimlim000 xgxfxgxfxxxxxx又若0)(lim0 xgxx，则)()(xgxf在0 xx时也存在，且有)()()()(limlimlim000 xgxfxgxfxxxxxx利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、00等情况，都不能直接用四则运算法则，

2、必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例 1：求2422limxxx解：原式=02222limlim22xxxxxx用两个重要的极限来求函数的极限利用1sinlim0 xxx来求极限1sinlim0 xxx的扩展形为：令0 xg，当0 xx或x时，则有1sinlim0 xgxgxx或1sinlimxgxgx2 例 2：xxxsinlim解：令t=x.则 sinx=sin(t)=sint,且当x时0t故1sinsinlimlim0ttxxtx例 3：求11sin21limxxx解：原式=211sin1111sin122121li

3、mlimxxxxxxxxx利用exx)11(lim来求极限exx)11(lim的另一种形式为e10)1(lim.事实上，令.1xx.0 所以xxxe)11(lime10)1(lim例 4:求xxx10)21(lim的极限解：原式=221210)21()21(limexxxxx利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即.1)()(lim0 xgxfxx称)(xf与)(xg是0 xx时的等价无穷小量，记作)(xf)

4、(xg.)(0 xx.定理 2：设函数)(),(),(xhxgxf在)(00 xu内有定义，且有)(xf)(xg.)(0 xx文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X

5、2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6

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7、2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6

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9、2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6

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11、可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例 5：求30sinsintanlimxxxx的极限解：由).cos1(cossinsintanxxxxx而)0(,sinxxx；,2cos12xx（x0）；33sinxx3 x,（x0）.故有30sinsintanlimxxxx=lim0 x212cos132xxxx注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于1sinlim0 xxx，故有xsin).0(,xx又由于,1arctanlim0 xxx故有 arctanxx，(x0).另注：在利用等价

12、无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanxx，);0(xxsinx).0(,x而推出30sinsintanlimxxxx=0sin30limxxxx则得到的结果是错误的。利迫敛性来求极限定理 3：设lim0 xxf(x)=lim0 xxg(x)=A,且在某),(0 xuo内有 f(x)h(x)g(x),则lim0 xxh(x)=A 文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B

13、9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y

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17、9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y

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19、9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O24 例 6：求lim0 xxx1的极限解：1xx11-x.且1)1(lim0 xx由迫敛性知lim0 xxx1=1 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数)(xf在0 x点连续，则)()(0lim0 xfxfxx及若axxx)(lim0且 f(u)在点 a连续，则)()(limlim00 xfxfxxxx例 7：求2arcsin2cos10limx

20、xxe的极限解：由于lim0 x41arcsin2cos12xx及函数4euf在41u处连续，故lim0 x2arcsin2cos1xxe=20arcsin2cos1limxxxe=41e。利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作00型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于00型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限文档编码:

21、CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q

22、9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:

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24、9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:

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26、9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:

27、CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O25 定理 4：若函数 f(x)和函数 g(x)满足：lim0 xx)(xf=lim0 xx)(xg=0。在点0 x的某空心邻域)(00 xu内两者都可导，且0)(xglim0 xx)()(xgxf=A。（A可为实数，也可为或）则lim0 xx)()(xgxf=lim0 xx)()(xgxf=A。注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例 8：求l

28、imxxx2tancos1解：容易检验f(x)=1+xcos与 g(x)=x2tan在0 x的邻域里满足定理的条件和，又因limx)()(xgxf=limxxxx2sectan2sin=-limx212cos3x故由洛比达法则求得，lim0 xx)()(xgxf=lim0 xx)()(xgxf=21在此类题目中，如果lim0 xx)()(xgxf仍是00型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限lim0 xx)()(xgxf是否存在。当然，这是)(xf和)(xg在0 x的某邻域内必须满足上述定理的条件。例 9：求)1ln()21(2210limxxexx解：利用)1ln(

29、2x2 x（0 x），则得原式=lim0 x221)21(xxex=lim0 xxxex2)21(21=lim0 x1222)21(23xex在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9

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32、X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6

33、 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9

34、X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6

35、 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O26 用适当的代换，如下例，例 10：求lim0 xxex1解：这是00型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更

36、方便些，故令,xt当0 x时有0t，于是有lim0 xxex1=111limlim00tttteet(2)型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理 5：若函数 f(x)和函数 g(x)满足：lim0 xx)(xf=lim0 xx)(xg=在点0 x的某空心邻域)(00 xu内两者都可导，且0)(xglim0 xx)()(xgxf=A，（A可为实数，也可为或）。则lim0 xx)()(xgxf=lim0 xx)()(xgxf=A。此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例 11：求xxxlnlim解：由定理 4 得，ln(ln)l0()limlimlim

37、xxxxxxxx注 1：若lim0 xx)()(xgxf不存在，并不能说明lim0 xx)()(xgxf不存在。注 2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2

38、Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6

39、B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2

40、Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6

41、B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2

42、Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6

43、B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O27 limxxxxsin=1 虽然是型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：limxxxxsin=limx1c

44、os1x就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。(3)其它类型不定式极限不定式极限还有 0，1，00，0，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为00型和型的不定式极限。例 12：求lim0 xxxln解：这是一个 1 型的不定式极限，作恒等变形xxln=xx1ln，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达法则得到lim0 xxxln=lim0 xxx1ln=lim0 x211xx=0)(lim0 xx例 13：求lim0 x21)(cosxx解：这是一个 1 型的不定式极限，作恒等变形21)(cosxx=xxecosln12其指数部分的极限lim0 xxxco

45、sln12是00型的不定式极限，可先求得lim0 xxxcosln12=lim0 xxx2tan=21从而得lim0 x21)(cosxx=21e文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 H

46、U5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2

47、O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 H

48、U5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2

49、O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 H

50、U5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2O2文档编码:CM8A6F3O2Y6 HU5V5Y5Q9N4 ZS7Z6B9X2

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4.3 金币

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