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(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义.pdf

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1、1 2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量ab cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即abab cos。注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“”不能省略，也不能也成“”；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00180 0。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0b0；（5）当向量a与b的夹角为900时，叫a与b互相垂直，记作：ab，此时：a

2、bab0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于abab cos，其中b cos叫做b在a方向上的投影，当为锐角时，投影为正；当为钝角时，投影为负；当就直角时，投影为0；当为 0 度时，投影是b；当为 180 度时，投影为b；（2）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的；（3）a在b方向上的投影值可以写成bba。例 1：已知a 2，b 5，当（1）a与b夹角为 300时；（2）当ab时；（3）当当ab时；分别计算a与b的数量积。【解析】：（1）53；（2）0；（3）10 变式练习 1：已知a 3，b 5，且a与b的夹角为450，则a在b方向上的投影是（）A：223B：3 C：4 D：

3、5【解析】：A 2 变式练习 2：已知a 6，b 3，且ab 12，则a在b方向上的投影是（）A：4 B：2 C：4 D：2【解析】：A 二、平面向量数量积的性质若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，是e与a的夹角1、eaaeae cos2、abab0 3、若a与b同向，则abab(夹角为 0 度)；若反向，则abab(夹角为 180度)；特别地，aa(a)2a2或aaa4、若是a与b的夹角，则 cos baba5、abab（当a与b共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、abba2、(a)b(ab)a(b)3、(ab)cacbc4、(ab)(ab)(a)2(b)2a2b25、(

4、ab)2a2 2abb2 注意：（1）没有(ab)ca(bc)这个运算定律；（2）acbc，则不能得到ab；（3）若ab0，则a0或b0或900。例 2：下列说法正确的个数_。（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若ab 0，则a与b的夹角为锐角，若ab0，则a与b的夹角为钝角；（4）(ab)ca(bc)；（5）若ab0，则a0或b0。【解析】：0 个文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2

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9、U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码

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11、W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U93 例 3：已知a与b的夹角为1200，且a 4，b 2，则计算(a2b)(ab)_，ab _。【解析】：12 23例 4：已知OAAB，OA 4，则OAOB_。【解析】：16 变式练习 1：已知a 1，ab21，(ab)(ab)21，求（1）a与b的夹角；（2）ab与ab的夹角的余弦值。【解析】：450，ab221，ab225，cos25212155。变式练习 2

12、：已知向量a、b的夹角为 600，且a 2，b 1，则向量a与向量a2b的夹角等于（）A：1500B：900C：600D：300【解析】：cosbaabaa2)2(300 可用数形结合法，构成的四边形为菱形变式练习 3：已知向量a与向量b满足，a 6，b 4，且a与b的夹角为600，求ab与a 3b。【解析】：ab 219，a3b 63变式练习 4：设四边形ABCD 为平行四边形，AB 6，AD 4，若点 M，N 满足BM3MC，DN2NC，则AMNM（）A：20 B：15 C：9 D：6 解析】这个地方四边形ABCD 为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A 为坐标原点建立坐标系。由0,

13、06,34,4A（），M（）N（），进而(6,3)AM，(2,1)NM，9AMNM。文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:C

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20、bc)0，则c的最大值是（）A：1 B：2 C：2D：22【解析】：(ac)(bc)abacbcc20，则c2c(ab)，则c4c(ab)2c2(a22abb2)2c2故c22。C 四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设i，j为 x 轴、y 轴方向的两个单位向量，即i(1，0)，j(0，1)，且a与b为两个非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)1、ii1 jj1 ij0 abx1 x2y1y22、若a(x，y)，则a222yx或a22yx。若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB212212)()(yyxx3、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0 x1x2y1y20

21、文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:

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23、9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2

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26、6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U

27、5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U95 4、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则 cos222221212121yxyxyyxx例 4：向量a(1，1)，b(1，2)，则a(2ab)

28、（）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：C 变式练习：若向量a(x，2)，b(2，1)，且ab，则ab（）A：5B：10C：25D：10【解析】：B 例 5：若平面向量a(4，3)，2ab(3，18)，则a与b夹角的余弦值等于（）A：658B：658C：6516D：6516【解析】：C 变式练习 1：设 x、yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则ab（）A：5B：10C：25D：10【解析】：B 变式练习 2：已知a(，2)，b(3，5)，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_。【解析】：由于 a 与 b 的夹角为锐角，a b0，且 a 与 b 不共线同向由a

29、 b0?3 100，解得 103.当向量 a 与 b 共线时，得5 6，得 65，因此的取值范围是 103且 65.答案：|103且 65 变式练习 3：已知 A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，O 为坐标原点。（1）若OCAB，求 tan；（2）若ACBC，求 sin2；（3）若OAOC13，且(0，)，求OB与OC的夹角。【解析】：（1）1（2）98（3）6变式练习 4：已知a(53cosx，cosx)，b(sinx，2cosx)，设函数 f(x)ab2b23。（1）当 x6，2时，求函数f(x)的值域文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5

30、Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9

31、文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:C

32、M7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9

33、R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 H

34、P9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V

35、9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6

36、 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U96（2）当 x6，2时，若 f(x)8，求函数f(x12)的值（3）将函数 f(x)的图象向右平移12个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移 5 个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数 yg(x)的表达式，并判断其奇偶

37、性。【解析】：（1）f(x)5sin(2x6)5（2）22x667sin2x53cos2x54f(x 12)5sin2x55sin(2x66)21433（3）g(x)5sin2x 奇变式练习 5：a(3，1)，b(21，23)，且存在实数k 和 t，使ma(t23)b，n ka tb，且mn，试求ttk2的最大值。课后综合练习文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:

38、CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W

39、9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2

40、HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10

41、V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C

42、6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U

43、5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U

44、9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U97 1、给出以下四个命题：（1）abab0；（2）若ab0，且a0，则b0；（3）若a0，b0，则abab；（4）当a与b反向时，abab。正确命题的个数是（）A：1 B：2 C：3 D：4【解析】：B（3）应小于2、已知a(0，1)，b(1，1)，且(ab)a，则实数的值是（）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：A 3、若a 3，b3，且a、b的夹角为6，则ab为（）A：6B：23C：32D：21【解析】：D 4、设a、

45、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（1）(ab)c(ca)b0；（2）abab；（3）(bc)a(ca)b与c不垂直；（4）(3a2b)(3a2b)9a2 4b2中，是真命题的有（）A：（1）（2）B：（2）（3）C：（3）（4）D：（2）（4）【解析】：D 5、如图所示，Rt ABC 中，A 900，AB 1，则ABBC的值是（）A：1 B：1 C：2 D：2【解析】：B 6、ABC 中，ABa，BCb，若ab0，则 ABC 的形状为（）A：直角三角形B：钝角三角形C：锐角三角形D：不能判断【解析】：B 7、已知a、b满足ab 2，ab0，若向量c与ab共线，则ac的最小值为（）A

46、：2B：1 C：22D：21【解析】：设a(2，0)，b(0，2)，cx(ab)(2x，2x)，则ac224)22(xx4882xx2A CAB文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 H

47、P9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V

48、9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6

49、 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5

50、Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9

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4.3 金币

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