(完整word版)高中数学平面向量专题复习(含例题练习)(2).pdf

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1、1 平面向量专题复习一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与ABu uu r共线的单位向量是|ABABu uu ru uu r)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等

2、；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0r)；三点ABC、共线ABACuuu ruuu r、共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如例 1：（1）若abrr，则abrr。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDCu uu ruuur，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDCuuu ruuu r。（5）若,ab bcrr rr，则acrr。（6）若/,/ab bcrr rr，则/acrr。其中正确的是_ 二、向

3、量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx yrrr，称,x y为向量a的坐标，a,x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e12e2。如例 2（1）若(1,1),abrr(1,1),(1,2)cr，

4、则cr_（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeu ru u rB.12(1,2),(5,7)eeu ru u rC.12(3,5),(6,10)eeu ru u rD.1213(2,3),(,)24eeu ru u r（3）已知,AD BEuuu r uuu r分别是ABC的边,BC AC上的中线,且,ADa BEbuuu rr uuu rr,则BCuuu r可用向量,a br r表示为_（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _ 四实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：

5、1,2aarr当0 时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0 时，0arr，注意：a0。2 五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBbuu u rr u uu rr，AOB0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当2时，a，b垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|cosabrr叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?bcosa br r。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3b在a上的投影为|cosbr，它是一个实数，但

6、不一定大于0。4a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|ar与b在a上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：0abab?rrrr；当a，b同向时，a?ba br r，特别地，222,aaaaaa?rrrrrr；当a与b反向时，a?ba br r；当为锐角时，a?b0，且a brr、不同向，0a brr是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a?b0，且a brr、不反向，0a br r是为钝角的必要非充分条件；非零向量a，b夹角的计算公式：cosa ba b?rrr r；|abab?rrrr。例 3 如（1）ABC 中，3|AB，4|AC，5|BC，则BCAB_（

7、2）已知11(1,),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrr，cr与du r的夹角为4，则k等于 _（3）已知2,5,3aba brrr rg，则abrr等于 _（4）已知,a br r是两个非零向量，且ababrrrr，则与aabrrr的夹角为 _ 例 4 已知3|a，5|b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _ 例 5（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 _（2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF,夹角的取值范围是。六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适

8、用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABa BCbuu u rr uuu rr，那么向量ACuu u r叫做ar与br的和，即abABBCACrru uu ru uu ruuu r；向量的减法：用“三角形法则”：设,ABa ACbabABACCAuuu rr uuu rrrruuu ruu u ruu u r那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。2坐标运算：设1122(,),(,)axybxyrr，则：向量的加减法运算：12(abxxrr，12)yy。实数与向量的积：1111,ax yxyr。文档编码:CE3J3M8F5T8

9、HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8

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11、8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5

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13、5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8

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15、8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P23 若1122(,),(,)A x yB xy，则2121,ABxx yyuuu r，即一个向量的坐标等于

16、表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：1212a bx xy y?rr。如已知向量a（sinx，cosx）,b（sinx，sinx）,c（1，0）。（1）若 x3，求向量a、c的夹角；（2）若 x4,83，函数baxf)(的最大值为21，求的值向量的模：222222|,|axyaaxyrrr。两点间的距离：若1122,A x yB xy，则222121|ABxxyy。例 6：ABBCCDuuu ruuu ruuu r_；ABADDCuuu ruuu ruuu r_；()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r_ 例 7（1）已知点(2,3),(5,4

17、)AB，(7,10)C，若()APABACRuuu ruuu ruu u r，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（2）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxyuuu r且，,(,)22x y，则xy例 8 设(2,3),(1,5)AB，且13ACABuuu ruuu r，3ADABuuu ruuu r，则 C、D 的坐标分别是_ 例 9 已知,a br r均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|abu u rr_ 七向量的运算律：1交换律：abbarrrr，aarr，a bba?rrrr；2结合律：,abcabc abcabcrrrrrr rrrrrr，ab

18、a bab?rrrrrr；3分配律：,aaaababrrrrrrr，abca cbc?rrrrrrr。例 10 下列命题中：cabacba)(；cbacba)()(；2()ab2|a22|abb；若0ba，则0a或0b；若,a bc br rr r则acrr；22aarr；2a bbaar rrrr；222()a babr rrr；222()2abaa bbrrrr rr。其中正确的是_ 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能

19、相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(?，为什么？八向量平行(共线)的充要条件：/ababrrrr22()(|)a babr rrr1212x yy x0。例 11(1)若向量(,1),(4,)axbxrr，当x_时ar与br共线且方向相同（2）已知(1,1),(4,)abxrr，2uabrrr，2vabrrr，且/uvrr，则x_（3）设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCkuu u ruuu ruuu r，则k_时，A,B,C 共线文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T

20、8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5

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27、u uu ruuu ruuu ruuu ru uu r。例 11(1)已知(1,2),(3,)OAOBmuuu ruuu r，若OAOBuuu ruuu r，则 m（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点 B 的坐标是 _（3）已知(,),na br向量nmru r，且nmru r，则mur的坐标是 _ 十向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）|abababrrrrrr，特别地，当a brr、同向或有0r|ababrrrr|ababrrrr；当a brr、反 向 或 有0r|ababrrrr|ababrr

28、rr；当a brr、不 共 线|abababrrrrrr(这些和实数比较类似).（3）在ABC中，若112233,A x yB xyC x y，则 其重 心的 坐 标为123123,33xxxyyyG。1()3PGPAPBPCuu u ruu u ru uu ru uu rG为ABC的重心，特别地0PAPBPCPuu u ruu u ruuu rr为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAPuu u r u uu ru uu r uuu ruuu r uu u r为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABACuuu ruu u ruu u ruuu r所在直线过ABC的内心(是BAC的角

29、平分线所在直线)；（4）向 量PA PB PCuu u ruuu ruuu r、中 三 终 点ABC、共 线存 在 实 数、使 得PAPBPCu u u ru u u ruu u r且1.例 12 若 ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则 ABC 的重心的坐标为_ 例 13 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1,3(A,)3,1(B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是 _ 文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3

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34、 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A

35、2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5

36、A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P25 ADBCP高考真题选讲一、选择题1 设xR,向量(,1),(1,2),axbrr且abrr,则|abrr（）A5B10C2 5D103 在ABC中,90A,1AB,设点,P Q满足,(1),APAB AQACRuuu r

37、uuu r uuu ruuu r.若2BQ CPuuu r u uu r,则（）A 13B23C43D24 设ar、br都是非零向量,下列四个条件中,使|ababrrrr成立的充分条件是（）A|abrr且/abrrBabrrC/abrrD2abrr5 已知向量a=(1,1),b=(2,x).若 a b=1,则 x=（）A 1 B12C12D16 对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹角0,4,且oab和ob a都在集合2nnZ中,则oab（）A12B1 C32D527 若向量1,2ABuuu r,3,4BCuuu r,则ACuuu r（）A4,6B4,6C2,

38、2D2,29 ABC中,AB边的高为CD,若CBau uu rr,CAbuu u rr,0a br r,|1ar,|2br,则ADuuu r（）A1133abrrB2233abrrC3355abrrD4455abrr二、填空题10在 ABC中,M 是 BC的中点,AM=3,BC=10,则AB ACuuu r uuu r=_.12已知向量a,b夹角为045,且|a|=1,|2ab|=10,则|b|=_.14如图,在平行四边形ABCD 中,AP BD,垂足为 P,3AP且AP ACuuu v uuu vg=.文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档

39、编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文

40、档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2

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42、2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10

43、P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B1

44、0P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B

45、10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P26 15已知向量(1,0),(1,1)abrr,则()与2abrr同向的单位向量的坐标表示为_;()向量3barr与向量ar夹角的余弦值为_.16已知正方形ABC

46、D 的边长为 1,点 E是 AB边上的动点,则DE CBuu u r uuu r的值为 _.17设向量(1,2),(1,1),(2,)am bmcmrrr,若()acrrbr,则ar_.巩固练习例 1 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：ABBCCDuuu ruu u ru uu r，DBACBDu uu ru uu ruuu rOAOCOBCOuu u ru uu ruuu ruuu r例 2 设非零向量 ar、br不共线，cr=kar+br，dr=ar+kbr(k R)，若 crdr，试求 k例 3 已知向量(1,2),(,1),2abxuabrrrrr，2vabrrr，且

47、/uvrr，求实数x的值文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2

48、ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2

49、 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A

50、2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5A2 ZW3W10Q9B10P2文档编码:CE3J3M8F5T8 HA10N3F4R5