(完整word版)高中数学概率重点问题探讨(word文档良心出品).pdf

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1、第 1 页 共 8 页高中数学中古典概率应用上之易错处探究一、基本概念（1）分类计数原理：nmmmN21（2）分步计算原理：nmmmN21（3）排列:一般地，从n个元素中取出m个元素（nm），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。从n个元素中取出m个元素（nm）的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示，)1()2)(1(mnnnnAmn。（4）组合：一般地，从n个不同元素中取出m个元素（nm）并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。从n个元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号m

2、nC表示。!)1()2)(1(mmnnnnAACmmmnmn。（5）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件。（6）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件。（7）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。（8）在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件 A发生的次数An称为事件 A发生的频数。比值nnA称为事件 A发生的频率。（9）一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率nnA总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的频率，记作)(AP，且一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一个事件A由几个基本事件组成，如

3、果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成。而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是n1。如果某个事件 A包含的结果有m个，那么事件 A的概率nmAP)(。第 2 页 共 8 页二、重点问题剖析1.“有放回摸球”与“无放回摸球”“有放回摸球”与“无放回摸球”主要有以下区别：（1）无放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球时总数比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋内，下次再摸球时袋内球的总数不变。（2）“无放回摸球”各次抽取不是相互独立的，而“有放回摸球”每次是相互独立的。下面通过一个例题来进一步的说明“无放回摸球”与“有放回摸球”的区别。例

4、 1 袋中有 1，2，3，N 号球各一个，采用无放回，有放回的两种方式摸球，试求在第 k 次摸球时首先摸到一号球的概率。解：设iB为事件“第 i 次摸到一号球”),2,1(ki。无放回摸球若把 k 次摸出的 k 个球排成一排，则从N 个球任取 k 个球的每个排列就是一个基本事件，因此基本事件的总数为以数码1，2，N 中任取 k 个数码的排列数，kNPn。下面求事件kB包含的基本事件数m，事件kB可分两步完成：先在第k 个位置上排上1号球，只有一种排法，再在前1k个位置排其它1N个球，共有11kNP种排法，由乘法原理知，事件kB包含的基本事件数为11111kNkNPPm，从而NPPnmBPkNk

5、Nk1)(11。有放回的摸球因为有放回摸球，每次袋中都有N 个球，共摸 k 次，故共有kN种可能结果，既基本事件总数为kNn。事件kB可分为两步完成：前1k次未摸到 1 号球，共有1kNm，于是kkrNNnmBP1)1()(。分析：对于有放回摸球与无放回摸球题型，在审题时一定要注意是有放回还是无放回，然后根据题意来考虑排列与组合的应用，总之，一定要抓住题目的隐含条件与已知条件的关系，所要求的问题与已知条件之间的连接点，这样才能够很快的解决问题而不至于错误。2.“隔板法”文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 H

6、Z8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4

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12、C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2第 3 页 共 8 页隔板法是插空法的一种特殊情况，它的使用非常广泛，能解决一大类组合问题。下面用一个具体的例子来说明它的使用的优越性。例 2 将 9 个相同的小球放到六个不同的盒子里，每个盒子至少

13、放一个球，有多少种不同放法。解法一：先在盒子里各放一个球，再把剩下的3 个球放到 6 个盒子里，分三类：3 个球放到一个盒子里，有16C种放法；3 个球放到两个盒子里，球数分别为2，1，共26P种放法；3 个球放到 3 个盒子里，每个盒子各一个球，共36C种放法。根据分类计数原理，共有56262616CPC种放法。解法二（隔板法）：把 6 个盒子看做由平行的7 个隔板组成的，每一个满足要求的放法、相当于 9 个小球和 7 个隔板的一个排列，其中2 个隔板在两头，任何2 个隔板之间至少有 1 个球（既任何 2 个隔板不相邻），把两头的 2 个隔板拿掉，每一个满足要求的放法还相当于再排成一列的9

14、个小球间 8 个空档中插入 5 个隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有5658C种。分析：对于用隔板法解决概率问题，一般都是将问题的思考角度进行转化，使问题从多向思维向单一思维转化，然后把问题的本质找出来进行剖析，问题自然就很好理解了。上述解法 2 应用了对应的方法，转化为插空问题，计算比较简单，但不易理解，等理解透彻后，就会发现隔板法是非常好用的，是具有普适性的方法。但一定要注意的是应用此法的前提是小球是完全相同（不加区分），盒子是不同的，每个盒子至少放一球。例 3 要从高一年级8 个班中产生 12 学生代表，每个班至少产生一名代表，则代表名额的分配的方案至少有多少种?解：这个问题如果用

15、原始的方法来分析，是比较麻烦的额，但如果转化问题的角度，用“隔板法”来理解，这个问题就容易解决了。把12 个名额看做 12个相同小球，8 个班看做 8 个不同的盒子，用隔板法知道名额分配方法共有711C种。3.分组问题分组问题时排列组合中的一个难点，主要有以下两种情况。（1）非平均分组问题在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同。例 4 把 12 人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数：分成甲、乙、丙三组，其中甲组7 人、乙组 3 人、丙组 2 人。分成三组，其中一组7 人、一组 3 人、一组 2 人。解：先从 12 人中任选 7 人为甲组，余下 5 人中任选 3

16、 人为乙组，剩下2 人为丙组，则共有2235712CCC种不同的方法。先从 12 人中任选 7 人为一组有712C种选法，再从余下5 人中任选 3 人有35C种选文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码

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22、2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8

23、Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2第 4 页 共 8 页法，剩下的两人为一组，共有2235712CCC种不同的选法。分析：在第一个问题中，学生很容易受到干扰，就是对于甲、乙、丙三组，和分成三组时否需要乘以33A的问题。但是由于各组的人数不同，这个问题属于非平均分组问题，虽然第一小问给出了分组的名称，但是这个并不影响最后的结果，它们的分组方法都是一样的。（2）平均分分组问题。分析：上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的。例 5 有 6 本不同的书，按下列要

24、求分配，各有多少种分发。分给甲、乙、丙三人，每人2 本；平均分成三份。解：从 6 本书中任取 2 本给一个人，再从剩下的4 本中取 2 本给另外一个人，剩下的 2 本给最后一个人，共有22264290C C C种分法。设平均分成三堆有x 种分法，在分给甲乙、丙三人每人各2 本，则应有32223642xAC C C种分法。所以有22264233C C CxA种不同的分法。说明：上面例子中可以看出：两个问题都是分成三堆，每堆两本，属于平均分组问题，而（1）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（2）没有给出组名，因而是不同的。规律：一般地，把nm个元素平均分到m个

25、不同的位置，有(1)2nnnnnmn mnnC CCC 种方法，把nm个不同元素平均分成m组有(1)2!nnnnnmn mnnCCCCm种分法。4.圆排列与重复组合问题（1）圆排列定义 1：从n个不同的元素中任取()m mn个，按照一定的顺序排成圆形，叫做一个圆排列。定义 2：从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有圆排列的个数，叫做圆排列数，用符号mnR表示。例 6 5 个朋友坐在圆桌周围时，席位排列方法有几种？解：设 5 个人分别为 a，b，c，d，e，把他们排成一排时，排列的数目是5！，排成圆形时，像下图那样只是转了一个地方的排法被看做是一样的，所以根据乘法原理得：5555!R文档

26、编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文

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31、8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9

32、B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2第 5 页 共 8 页所以555!245R答：席位的排列方法有24 种。命题

33、 1：n 个不同的元素的圆排列数(1)!nnRn。例 7 有 6 名同学做成一圆圈做游戏，有多少种做法？解:据命题一，66(61)!120R种。答：共有 120 种。CBAEDABEDEADCDECBCDBABCAE命题 2：从n个元素中取出()m mn个元素的圆排列数(1)!mmnnRCm。证明：从n个不同元素中取出m个元素的组合数为mnC种，而将这m个元素排成圆形由命题 1 共有(1)!m种方法，于是由乘法原理得(1)!mmnnRCm.（2）重复组合定义 3：从n个不同的元素中任取m个元素，元素可以重复选取，不管怎样的顺序并成一组，叫做重复组合。定义 4：从n个不同的元素中取出m个元素的所

34、有重复组合的个数，叫做重复组合数，用符号mnH表示。例 8 有 5 个数 1，2，3，4，5，同一个数允许选用任意次，求从中选出3 个的重复组合数。解：如果从 5 个中选出 3 个时，选的都是不同的数，那么很明显组合数为35C，但是同一个数允许选用任意次，因此像（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5），的组合也应在算内，所以要想办法，把问题转化成选取的全是不同元素的问题，为了把上述（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）改成全是不同的数，先把这些数按从小到大的顺序排列起来得到（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）。然后第一个数不变，在第二个文档编码:CK4V10H10C4P

35、4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4

36、P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C

37、4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10

38、C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H1

39、0C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H

40、10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10

41、H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2第 6 页 共 8 页数上加 1，在第三个数上加2，这就变成：（1，2，3），（1，2，4），（4，6，7

42、）。一般地)2,1,(),(cbacba，可以证明左右两边是一一对应的（左右各有一组互相对应，一组不能和两组以上对应）。这样，,a b c中即使有相同的元素，在上述的一一对应中，也能够改变成没有相同的元素组，所以从整体上来说，结果就成了从1，2，3，4，5，6，7 的 7 个数中选取 3 个不同的元素的组合问题了，即335776 5351 23HC。答：从 1，2，3，4，5 中选取 3 个数的重复组合数为35。命题 3：从 n 个不同的元素中选取出m个元素的重复组合数为1mmnn mHC。例 9 从 3，5，7，11 这 4 个质数中任取两个相乘，同一个数允许重复使用，可以得到多少个不相同的

43、乘积？解：根据命题 3 有：3244 2 110HC个。答：可以得到 10 个不相等的乘积。分析：圆排列和重复组合问题时高考中的难点，学生在平时的理解过程中往往也存在很多的理解上的问题，主要是因为他们在平时的训练当中已经习惯性的接受了全排列和不重复组合的很多的例题，导致了思维的本能反应而导致错误，老师在讲解这两个知识点的时候最好能够重新给学生建立相应的知识体系，在讲完这一个知识点以后再与前两个知识点进行相应的对照理解和学习，这样可能更好的促进教学，学生也能够很好的接受。5.连排与间隔排(1)排列中的“连排”问题（我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问题）：例 10 某班有学生 3

44、8人，其中男生 24 人，女生 14 人，现将他们排成一排，女生必须排在一起的排法有多少种？我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问题。解：由于 14 名学生必须排在一起，所以我们可以将14 名学生看成 1 个“人”，把38 人的排列问题看成24+1=25人的问题，共有2525P种，再考虑到 14 名学生之间的排法1414P，因此女生必须排在一起的排法种数为25142514PP种。一般地，在n个不同的元素中，某k 个元素排在一起的排法种数有11nkkn kkPP种。例 11 某班有 38 名同学，其中第一组的12 名同学必须排在一起且第一组中的5名女同学又必须排在一起的排列方法有多

45、少种？解：将第一组的 12 名同学看成一个“人”。将 38 名同学的排列问题看成27 人的排列的问题，共有排法2727P种，再考虑到 12 名同学的排列方法，依照例1，可知第一组的文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E

46、9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1

47、E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S

48、1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8

49、S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK

50、8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 ZK8S1E9B8Z2文档编码:CK4V10H10C4P4 HZ8H8D3W1L10 Z