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(完整word版)高等数学中值定理的题型与解题方法(word文档良心出品).pdf

上传人：H****o

文档编号：55060612

上传时间：2022-10-29

格式：PDF

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1、高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle);2.拉格朗日中值定理(lagrange);3.柯西中值定理(cauchy);还有经常用到的泰勒展开式(taylor),其中(,)a b，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明：()0nf基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例 1.(),f xC a b在(,)a b可导，()()0f af b，()()02abf a f，证明：存在(,)

2、a b，使得()0f.分析：由()()0f af b，()()02abf a f，容易想到零点定理。证明：()()02abf a f，存在1(,)2abxa，使得1()0f x，又()()0f af b，(),()f af b同号，()()02abf b f，存在2(,)2abxb，使得2()0f x，12()()0f xf x，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b，使得()0f.例 2.()0,3f xC在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3fff，(3)1f，证明：存在(0,3)，使得()0f证明：（1）()0,3f xC，()f x在0,3使得上有最大值和最小值,M m，根据介值性定

3、理(0)(1)(2)3fffmM，即1mM存在0,3c，使得()1f c，（2）()(3)1f cf，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c，使得()0f.例 3.()f x在(0,3)三阶可导，0,1x，(1)0f，3()()F xx f x证明：存在(0,1)，使得()0F证明：（1）(0)(1)0FF，存在1(0,1)，使得1()0F，（2）23()3()()Fxx f xx fx，所以1(0)()0FF，存在21(0,)，使得2()0F，（3）223()6()3()3()()Fxxfxx fxx fxx fx，所以2(0)()0FF，存在2(0,)(0,1)，使得()0F，例

4、3.()0,1f xC在(0,1)内可导，0,1x，(0)1f，11()22f，(1)2f证明：存在(0,1)，使得()0f证明：(0)1f，11()22f，(1)2f存在(0,1)，使得()fm，又()fx在(0,1)内可导，存在(0,1)，使得()0f题型二：证明：含，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。()ln()()fxf xf x能够化成这种形式例 1.()0,1f xC在(0,1)可导，(1)0f，证明：存在(0,1)，使得()3()0ff.分析：由3()3()3()00ln()(ln)0()fxxfxfxf xxf xx，3ln()0 x f x证明：令3()()xx

5、f x，(0)(1)1存在(0,1)，使得()0，而23()3()()0ff存在(0,1)，使得()3()0ff例 2.(),f xC a b在(,)a b可导，()()0f af b，证明：存在(,)a b，使得()2()0ff.分析：由2()()2()020ln()(ln)0()xfxfxf xfxef x，文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F

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12、f x e，()()0f af b，()()0ab存在(,)a b，使得()0，而222()2()()2()()0 xxxxf x efx eef xfx2 2()()0eff即存在(,)a b，使得()2()0ff例 3.()f x在0,1上二阶可导，(0)(1)ff，证明：存在(0,1)，使得2()()1ff.分析：由22()()2()0ln()ln(1)01()1fxfxfxfxxxfxx，2ln()(1)0fxx证明：令2()()(1)xfxx，(0)(1)(0,1)ffc，使得()0fc，所以2()()(1)0cfcc，又因为(1)0()(1)0c由罗尔定理知，存在(0,1)，使得2

13、()()1ff.记：()()kxfkfxe f x()()kfkfxx f x（2）分组构造法。()()ff()()0()()()()0fxf xfxfxfxf x()()()()00fxf xfxf xgg10(ln)(ln)0()()()xxggexefxfxg()()10ff（还原法行不通）文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK

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20、,1f xC，在(0,1)内可导，11(0)0,()1,(1)22fff，证明：存在(0,1)c，使得()f cc，存在(0,1)c，使得()2()1ff.证明：令()()xfxx，111(0)0,(),(1)2221()(1)02，1(,1)(0,1)2c使得()0c，即()f cc（分析）()2()1()2()0fxf xxf xxfxx令2()()xh xef xx，(0)()0hh c存在(0,1)c，使得()2()1ff.题型三：证明：含,.分几种情形：情形1：结论中只有(),()()ff找三句次Lagrange点两话两例 1.()0,1f xC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)

21、1ff，证明：存在(0,1)c，使得()1f cc，存在,(0,1)，使得()()1ff.证明：令()()1xfxx，(0)1,(1)1(0)(1)0(0,1)c使得()1f cc(0,),(,1)cc,使得()(0)1()f cfcfcc(1)()()11ff ccfcc，所以存在,(0,1)，使得()()1ff例 2.()0,1f xC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：存在(0,1)c，使得1()2f c，存在,(0,1)，使得112()()ff.文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F

22、3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编

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28、3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6证明：令1()()2xf x，11(0),(1)22，(0)(1)0(0,1)c，使得1()2f c(0,),(,1)cc,使得()(0)1()2f cffcc，(1)()1()12(1)ff cfcc，所以存在,(0,1)，使得112()()ff情形 2：结论中含有,，但是两者复杂度不同。2222()2()()()()()()()11()ffffffx1).留复某函的句2).哪函的看不出1).的情用拉格朗日中值定理2).的情用柯西中值定理杂 ee个数导数两话个数导数来时况况例 1

29、.(),f xC a b，在(,)(0)a b a内可导证明：存在,(,)a b，使得()()()2ffab.证明：令2()F xx，()20Fxx由柯西中值定理(,)a b使得22()()()2f bf afba，所以()()()()2f bf afabba(,)a b使得()()()f bf afba，得证。例 2.(),f xC a b，在(,)(0)a b a内可导证明：存在,(,)a b，使得2()()abff.证明：令1()F xx，21()0Fxx由柯西中值定理(,)a b使得2()()()111f bf afba，所以2()()()f bf aabfba文档编码:CV7E8G6

30、B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8

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35、M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6

36、B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6(,)a b使得()()()f bf afba，得证。例 3.(),f xC a b，在(,)a b内可导,()()1f af b证明：存在,(,)a b，使得()()1eff.(分析：“留复杂”()()eff)证明：令()()xxe fx，由拉格朗日中值定理(,)a b使得()()()()bae f be f aeffba，()()()()1,()()babae f be f a

37、eef af beffbaba()(),(,)baeeeeffa bba，即()()1eff.题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。()f x可导()()()f bf afba见到 3 点两次使用拉格朗日中值定理。例 1.lim()xfxe，且lim()(1)lim(),xxxxcf xf xxc则c解：()(1)()(1)f xf xfxx，lim()xfxe.又因为2lim2222lim()lim(1)xxccxxxcccxcxcxxxcceexcxc12c例 2.()0,()0fxfx，且000(),()(),0dyfxxyf xxf xx，则,0dyy的大小关系。解：由拉格朗日中

38、值定理知000(),()yfxxxxx，()0,()fxfx单调递增文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7

39、S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:C

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43、S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:C

44、V7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6又00,()()xfxf又因为00,()(),0 xfxxfxdyy例 3.()f x在(,)a b内可导，且()fxM，()f x在(,)a b内至少有一个零点。证明：()()()f af bM ba证明：1）因为()f x在(,)a b内至少有一个零点，所以(,),()0ca bf c2

45、）下边用两次拉格朗日中值定理11()()()(),(,)f cf afcaa c，22()()()(),(,)f bf cfbcc b所以11()()(),(,)f afcaa c22()()(),(,)f bfbcc b()fxM，1()(),(,)f aM caa c2()(),(,)f bM bcc b，()()()f af bM ba例 4.()f x在(,)a b内二阶可导，有一条曲线()yfx，如图证明：(,)a b，使得()0f证明：1）12(,),(,)a cc b使得12()()()()(),()f cf af bf cffcabc因为,A C B共线，所以12()()ff，

46、所以由罗尔定理知12(,)(,)a b，使得()0f文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3

47、T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1V9 HN5H4F3T7S4 ZK8M3T5W3S6文档编码:CV7E8G6B1

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4.3 金币

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