高中数学知识大全(完整).pdf

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1、第一章 集合和命题1.集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；集合常用大写字母A、B、C表示，集合中的元素用小写字母a、b、c表示；如果a是集合A的元素，就记作a A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就记作a A，读作“a不属于A”数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q；全体实数组成的集合即实数集，记作R；另外正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正

2、实数集、负实数集分别表示为Z、Z、Q、Q、R、R；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作；集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即A x|x满足性质p，这种表示集合的方法叫做描述法；2.集合之间的关系对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B或B A，读作“A包含于B”

3、或“B包含A”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若A B，不要遗漏A的情况；对于一个含有n个元素的集合P，它的子集个数为2n真子集个数为2n1，非空子集个数为2n1，非空真子集的个数为2n2；用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；对于两个集合A和B，如果A B且B A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A B，读作“集合A等于集合B”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；对于两个集合A和B，如果A B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合的B真子集，记作AB或B A，读作“A包含于B”或

4、“B真包含A”；对于数集N、Z、Q、R来说，有N Z QR；3.集合的运算一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB，读作“A交B”，即A B x|x A且xB；由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作AB，读作“A并B”，即A B x|x A或xB；在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA，读作“A补”，即CUA x|xU,

5、x A德摩根定律：CUA B CUACUB；CUA B CUACUB容斥原理：用A表示集合A的元素个数，则AB A B AB；ABC A B C AB BC C A ABC；4.命题可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作，读作“推出”，换言之，表示以为条件、为结论的命题是真命题；如果，并且，那么记作，叫做与等价；推出关系满足传递性：，那么；一个数学命题用条件，结论表示就是“如果，那么”，如果把结论和条件互相交换，就得到一个新命题“如果，那么”，这个命题叫做原命题的逆命题；一个命题的条

6、件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果把、的否定分别记作、，那么命题“如果，那么”的否命题就是“如果，那么”；如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果，那么”；如果A、B是两个命题，A B，B A，那么A、B叫做等价命题；原命题与逆否命题是等价命题；不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p或q，p且q，非p；p真真假假q真假真假非p假假真真p或q真

7、真真假p且q真假假假一些常用结论的否定形式：原结论是都是大于小于p或qp且q反设词不是不都是不大于不小于非p且非q非p或非q原结论至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有至少有两个至多有n1个至少有n1个对所有x成立存在某个x不成立对任何x不成立存在某个x成立5.充要条件一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；一般地，用、分别表示两个命题，如果既有，又有，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，这时我们就说，是的充分必要条件，简称充要条件；设具有性质p的对象组成集合A，具有性质q的对象组成集合B,则 若A B，则p是q

8、的充分条件；若AB，则p是q的充分非必要条件；若A B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要非充分条件；若A B，则p,q互为充要条件；等价关系：“p q”“A B”“AB A”“AB A”“CUB CUA”“ACUB ”CUA B U（注意考虑A的情况）；第二章 不等式1.不等式的基本性质性质1如果a b,b c那么a c；性质2如果a b，那么ac bc；性质3如果a b，c 0，那么ac bc；如果a b，c 0，那么ac bc；性质4如果a b,c d，那么ac bd；性质5如果a b 0,c d 0，那么ac bd；性质6如果a b 0，那么0 11ab性质7如果a b 0，那

9、么an bn（nN*）；性质8如果a b 0，那么na nb（nN*，n 1)；不等式的解法（1）一元二次不等式对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2bxc 0或ax2bxc 0a 0；一般地，设一元二次不等式为ax2bxc 0或ax2bxc 0a 0，当对应的一元二次方程ax2bxc 0的根的判别式 b24ac 0时，先求出方程ax2bxc 0的两个实数根x1,x2(不妨设x1 x2)，于是不等式ax2bxc 0的解集为x|x x1或x x2，不等式ax2bxc 0的解集为x|x1 x x2；不等式的解集经常用

10、区间来表示，设a,b都为实数，并且a b，我们规定：集合x|a x b叫做闭区间，表示为a,b；集合x|a x b叫做开区间，表示为a,b；集合x|a x b或x|a x b叫做半开半闭区间，分别表示为a,b)或(a,b；实数集R表示为,，集合x|x a、x|x a、x|x b和x|x b分别用区间a、a、,b和,b表示；a与b也叫做区间的端点，“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”前面讨论的是判别式的情形，当0时，抛物线y ax2bxca 0与x轴没有交点，整个图像都在x轴的上方，于是不等式ax2bxc 0的解集为实数集R，不等式ax2bxc 0的解集为空集；当0时，抛物线y ax2bx

11、ca 0与x轴两个交点重合，即x1 x2 b，2a除了这一个点外，抛物线的其余部分都在x轴的上方，于是不等式ax2bxc 0的解集b b为,，不等式ax2bx c 0的解集为空集；2a2a（2）高次不等式高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积；（未知数系数一定是正数）把各因式的根标在数轴上；从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集；如图：x x1x x2x x3 0（假设x1 x2 x3）的解为xx1,x2 x3,（3）分式不等式fxfx 0(或0)或 0(或0)（其中fx、x为整式且x 0）型如xx的不等式称为分式不

12、等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；fxfx 0 fxx 0，0 fxx 0 xxfxfx（或0 0）fxx（或0 0）0 fxx 0且x 0，xx（4）含绝对值不等式x表示实数x在数轴上所对应的点到原点的距离；所以，不等式x aa 0的解集为a,a，类似地，不等式x aa 0的解集为,a a,解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，一般有如下方法：定义法；零点分段法；平方法；数形结合法；绝对值不等式的性质：a b ab a b（5）无理不等式只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，关键是转化为有理不等式；fxgx fx 0，gx 0，fx gx；fx g

13、x fx 0，gx 0，fxgx或fx 0,gx 0；2（6）指数对数不等式解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数；当a 1时，afx agx fx gx，logafx logagx fx gx 0；当0 a 1时，afx agx fx gx，logafx logagx 0 fx gx3.基本不等式基本不等式1基本不等式2对任意实数a和b，有a2b2 2ab，当且仅当a b时等号成立；对任意正数a和b，有abab，当且仅当a b时等号成立；2推论1若a,b,cR，则a3b3c3 3abc，当且仅当a b c时等号成立；abc3abc，当且仅当a b c时等号成立；推论2若a,

14、b,cR，则3推论3a1a1anna1a2an，nN*，aiR，1i nna2b2ab2ab 均值不等式之，a,bR；1122ab柯西不等式a2b2c2 d2ad bd；2注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；4.不等式的证明（1）比较法要证明a b，只要证明ab 0，同样，要证明a b，只要证明ab 0，这种证明不等式的方法叫做比较法；用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立；（2）分析法从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能

15、够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立，这种证明方法叫做分析法；（3）综合法从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这种方法叫做综合法；（4）放缩法在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之和变小（或变大)，或把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法；（5）换元法根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法；（6）判别式法根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判别式的取值范围

16、来证明不等式；（7）分解法按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或式），使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，然后各个击破，从而证明不等式的一种方法；（8）反证法（9）数学归纳法第三章 函数的基本性质1.函数概念与运算（1）函数概念在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y fx，xD，x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；求函数定义域时，主要考虑以下因素：分母不为零；偶次方根号内大于等于

17、零；真数大于零；实际意义；求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常这个过程叫做建模；（2）函数的和与积一般地，已知两个函数y fxxD，y gxxD2，设D D1D2，并且D ，那么当xD时，y fx与y gx都有意义，于是把函数y fx gxxD2叫做函数y fx与y gx的和；类似于求两个函数的和，我们也可以求两个函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积；2.函数的基本性质（1）奇偶性一般地，如果对于函数y fx的定义域D内的任意实数x，都有f x fx，那么就把函数y fx叫做

18、偶函数；如果函数y fxxD是偶函数，那么y fx的图像关于y轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于y轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数；如果对于函数y fx的定义域D内的任意实数x，都有f x fx，那么就把函数y fx叫做奇函数；如果函数y fxxD是奇函数，那么y fx的图像关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数；由上可知，函数定义域D关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件；奇偶性分类：奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数；非奇非偶函数；奇偶性常用性质结论：奇函数y fx在x 0处有意义 f0 0 奇函数关于原

19、点对称；偶函数关于y轴对称；对于多项式函数fx axnbxn1cx2dxe若fx是奇函数 fx偶次项的系数全为零；若fx是偶函数 fx奇次项的系数全为零；y xa为奇函数 f xa fxa；y xa为偶函数 f xa fxa；y x为奇函数 fxa f xa；y x为偶函数 f xa f xa；任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和；即：fxfx f xfx f x；22复合函数奇偶性：对于fgx，同奇则奇，有偶则偶；奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；奇奇偶；偶偶偶；偶偶偶；奇偶奇；奇偶奇；（2）单调性一般地，对于给定区间I上的函数y fx：如果对于属于这个区间I的自变量

20、的任意两个值x1,x2，当x1 x2时，都有fx1 fx2，那么就说函数y fx在这个区间上是单调增函数，简称增函数；如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x1,x2，当x1 x2时，都有fx1 fx2，那么就说函数y fx在这个区间上是单调减函数，简称减函数；如果函数y fx在某个区间I上是增（减）函数，那么说函数y fx在区间I上是单调函数，区间I叫做函数y fx的单调区间；证明单调性步骤：在定义域上任取x1 x2；作差fx1 fx2；变形判断；单调性常用性质结论：在对称的两个区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反；互为反函数的两个函数有相同的单调性复合函数单调性：对于fgx，同增

21、异减；增+增增；减+减减；增一减增；减一增减；注意：单调性是函数局部的性质，奇偶性是整体的性质；（3）最值一般地，设函数y fx在x0处的函数值是fx0，如果对于定义域内任意x，不等式fx fx0都成立，那么fx0叫做函数y fx的最小值，记作ymin fx0；如果对于定义域内任意x，不等式fx fx0都成立，那么fx0叫做函数y fx的最大值，记作；ymax fx0；求函数最值的方法：利用基本初等函数的值域：反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等；配方法：主要用于二次函数求最值；换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围；数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何

22、意义（斜率、距离等)；单调性法：结合函数单调性求最值；不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等；分离常数法：分式函数；判别式法：定义域为R，有二次项的分式方程，转化法：利用某些式子的有界性进行转化求最值；或转化成求反函数的定义域；其他法：包括向量法、构造法、平方法、导数法等；（4）零点一般地，对于函数y fxxD，如果存在实数ccD，当x c时，fc 0，那么就把x c叫做函数y fxxD的零点；实际上，函数y fx的零点就是方程fx 0的解，也就是函数y fx的图像与x轴的交点的横坐标；通过每次把y fx的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零

23、点的近似值，这种方法叫做二分法；零点定理：若fmfn 0，则方程fx 0在区间m,n内至少有一个实根；（5）周期性一般地，对于函数fx，如果存在一个常数TT 0，使得当x取定义域D内的任意值时，都有fxT fx成立，那么函数fx叫做周期函数，常数T叫做函数fx的周期，对于一个周期函数fx来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数fx的最小正周期；周期性的判断：fxa fxa,T 2a；fxa fxb，T abfxa fx，fxa fxa11 fx，fxa，T 2a；fx1 fx11或fx1，T 3a；1 fxfxa1 fx1 fx，fxa，T 4a；1 fx1 fxf

24、xa fx fxa fxfxa,T 2a；fx fxa fx2a fxfxafx2a,T 3a；fx fxa fxna fx fxa fxna,T n1a n1项（6）对称性 一个函数的对称性对于函数y fx，若fa x fa x或fx f2a x恒成立，则函数对称轴是x abab；若fa x fb x恒成立，则函数对称轴是x 22若fa x fa x 0或fx f2a x 0恒成立，则函数对称中心是(a,0)；若fa x fa x 2b，则函数的对称中心是(a,b)；注意：括号内相减得常数，一般有周期性；括号内相加得常数，一般有对称性；两个函数的对称性函数y fx与函数y f2a x的图像关

25、于直线x a对称；ba对称；2函数y fx与函数2b y f2a x的图像关于点(a,b)对称；函数y fxa与函数y fb x的图像关于直线x 3.函数的图像变换（1）平移变换 左加右减a个单位a个单位y fx左移 y x a；y fx右移 y xa；上加下减b个单位b个单位y fx上移 y xb；y fx下移 y fxb；（2）伸缩变换 y fx 0y fx成原来的A倍 y AfxA 0y fx横坐标不变，纵坐标变1纵坐标不变，横坐标变成原来的倍（3）翻折变换y fx y fx；函数y fx图像在x轴上方的部分保持不变，将函数y fx图像在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方；y fx y f

26、x；保留y fx图像在y轴右边的部分，并将y轴右边的部分沿y轴对称翻折到y轴左边，替代原有的y轴左边图像；（4）对称变换函数y fx与函数y f x的图像关于y轴对称；函数y fx与函数y fx的图像关于x轴对称；函数y fx与函数y f x的图像关于原点对称；函数y fx与函数y f2a x的图像关于直线x 2对称；ba对称；2函数y fx与函数2b y f2a x的图像关于点(a,b)对称；函数y fxa与函数y fb x的图像关于直线x 第四章 幂函数、指数函数和对数函数1.幂函数一般地，函数y xk（k为常数，k Q）叫做幕函数；幂函数y xk（k Q）的性质：幂函数的图像最多只能同时

27、出现在两个象限，且不经过第四象限；如果与坐标轴相交，则交点一定是原点；所有幂函数在0,上都有定义，并且图像都经过点(1,1)；若k 0，幂函数图像都经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限内递增；若k 0，幂函数图像只经过点(1,1)，在第一象限内递减；注意：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，再根据奇偶性完成整个图像；2.指数函数一般地，函数y axa 0且a 1叫做指数函数，自变量x叫做指数，a叫做底数，函数的定义域是R；指数运算法则：axay axya 0,x,yR；axy axya 0,x,yR；abx axaxa,b 0,xR；一般地，指数函数y ax底数a 1及0 a 1这两种情况

28、下的图像如图所示：指数函数有下列性质：性质1指数函数y ax的函数值恒大于零，定义域为R R，值域0,；性质2指数函数y ax的图像经过点(0,1)；性质3函数y axa 0在R R上递增，函数y ax0 a 1在R R上递减；3.对数及其运算一般地，如果aa 0,a 1的b次幂等于N，即ab N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数；根据对数定义，可知：零和负数没有对数，真数大于零；1的对数为0，即loga1 0；底的对数等于1，即logaa 1；对数恒等式：alogaN N成立；通常将以10为底的对数叫做常用对数，常用对数log10N简记作lgN

29、；以无理数e 2.71828.为底的对数叫做自然对数，自然对数logeN简记作1nN；对数运算性质：如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么：logaM logaN logaMN；logaM logaN logaM；logaMn nlogaMN对数换底公式：logbN logaN(其中a 0,a 1,b 0,b 1,N 0)；logab常用恒等式：alogaN N；logaaN N；logablogba 1；logablogbclogcd logad；logambnnlogab；m4.反函数一般地，对于函数y fx，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与

30、它对应，且满足y fx，这样得到的x关于y的函数叫做y fx的反函数，记作y f1x，在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y f1xx A；反函数的判定：反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数；周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；反函数的性质：原函数y fx和反函数y f1x的图像关于直线y x对称；若点a,b在原函数y fx上，则点(b,a)必在其反函数y f1x上；函数y fx与y f1x互为反函数；原函数y fx的定义域是它反函数y f1x的值域；原函数y fx的值域是它反函数y f1x的定义域；原函数与反函数具

31、有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数；求反函数步骤：用y表示x,即求出x f1y；x,y互换，即写出y f1x；确定反函数定义域；注意事项：若函数y faxb存在反函数，则其反函数为y 是y f1ax b，函数y f1ax b是y 5.对数函数一般地，对数函数y logax(a 0且a 1)就是指数函数y ax(a 0且a 1)的反函数；因为y ax的值域是0,，所以，函数y logax的定义域是0,；对数函数y logax(a 0且a 1)在a 0及0 a 1两种情形下的图像如图所示：11fxb，而不a1fxb的反函数；a对数函数y logax(a 0且a 1)的性质：性质1对数函数

32、y logax的图像都在y轴的右方，定义域0,，值域为R；性质2对数函数y logax的图像都经过点(1,0)；性质3对数函数y logax(a 0)，当x 1时，y 0；当0 x 1时，y 0；对数函数y logax0 a 1，当x 1时，y 0；当0 x 1时，y 0；性质4对数函数y logax(a 1)在0,上是增函数，y logax0 a 1在0,上是减函数；6.指数对数方程我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利用指数函数的性质：a，其中a 0且a 1，将指数方程化为整式方程求解；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行检验

33、，因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能产生增解；解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程；7.抽象函数抽象函数的解法：赋值法；如赋值x 0、x 1、y x、x y 0等；x1x 结构变换法：fx1 fx1 x2 x2、fx1 f x2等；2抽象函数特征fx y fx fy或fx y x fy,f1 cfx y fx fy或fxyfx,f01y可能对应函数正比例函数f(x)cxc 0指数函数y axa 0且a 1fxy fx fy或f x y fx,f1 0y 对数函数y logaxa 0且a 1幂函数fx xkfxy

34、fx fy，f11第五章 三角比1.角的概念与度量一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的；特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角；在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；当角的终边在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限；我们把所有与角有重合终边的角（包括角本身）的集合表示为|k 360,kZ；在平面几何里，我们把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单

35、位制叫做角度制；我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小；把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度；用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；l如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么比值就是角的弧度数的绝r对值，即l，这里的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；r弧度制与角度制的换算关系：1弧度180弧度；在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系；例如，与角终边相同的角可以表示为|2k,k Z，与角终边共线的角可以表示为|k,k Z；弧长公式：l r；扇形面积公式：S扇形11r2lr；22附

36、表：由的象限判断2、3、的象限：23二三、四三一、二一、三、四二、四一、三、四四三、四二、三、四二、四二、三、四23一一、二一、二、三一、三一、二、三一、二、四一、三一、二、四232.任意角的三角比在任意角的终边上任取一点P，设P的坐标为x,y，OP r，则r x2 y2r 0，我们规定：sinsecxyxy；cos；tan；cot,kk Z；yrrxrr,kkZ；csc,kk Z；yx2根据三角比的定义，各三角比的正负值如下所示：在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心，以1为半径的圆为单位圆，把点P(x,y)看作角的终边与单位圆的交点，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1,0)作单位

37、圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T；y AT；所以点P坐标总可以x表示成cos,sin；我们把PM、OM、AT这三条线段分别叫做角的正弦线、余弦于是，cos x OM，sin y PM，tan线、正切线，这些线段通称为三角函数线；由三角函数线得出的常用三角不等式：0 sinx 1，0 cosx 1，1 sin x cosx 2；若x0,，则sin x x tanx2附表：特殊角的三角比sincos 0010612323342222332210不存在03210不存在12310tan13.同角三角比关系与诱导公式（1）同角三角比关系倒数关系：sincos1，c

38、ossec1，tancot1；商数关系：tansincos 0，cotcossin 0；cossin平方关系：sin2cos21，1 tan2 sec2，1cot2 csc2；利用同角三角比的关系，可以实现“弦”、“切”、“割”之间的互化：切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”；弦化切，一般和“齐次式”有关，通过分式上下同时除以cos或cos2得到“切”；1的代换，通过平方关系，将1代换成所需的三角比；（2）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；第一组：sin2k sin；cos2k cos；tan2k tan；第二组：sin sin；cos cos；tan tan；

39、第三组：sin sin；cos cos；tan tan；第四组：sin sin；cos cos；tan tan；第五组：sin cos；cos sin；tan cot；222第六组：sin cos；cos sin；tan cot；2224.三角恒等变换（1）和与差公式cos coscossinsin；cos coscossinsincos coscossinsin；sin sincoscossintantan tantan tan；tan1 tantan1 tantan（2）辅助角公式：asinbcosa2b2sin，通常取0 2，由cosaa2b2，sinba2b2（或tanb）确定；a常见

40、类型：sincos2sin；43sincos 2sin；6sin3cos 2sin；3（3）倍角公式cos2 cos2sin2 2cos2112sin22tansin2 2sincos；tan 21 tan2（4）半角公式sintan2 1cos1cos；cos 2221cossin1cos；1cos1cossin2（5）其他公式及恒等变换1 tan22tan2tancos 2 万能公式：sin 2；tan 21 tan21 tan21 tan2 三倍角公式：sin3 3sin4sin3；cos3 3cos4cos3；1 积化和差公式：sin AcosB sinA BsinA B；2cos A

41、sin B cos AcosB sin Asin B 1sinA BsinA B；21cosA BcosA B；21cosA BcosA B；2A BA B；cos22和差化积公式：sin Asin B 2sinsin Asin B 2cosA BA B；sin22A BA B；sin22cos AcosB 2cosA BA B；cos22特殊三角等式：sinsin sin2sin2；cos AcosB 2sincoscos cos2sin2 cos2sin2；cottan 2cot2；常见公式变形：1cos2cos22；1cos2sin2；1sin 2sincos；1 tan tan；1ta

42、n4 常见角的变换：；2；24242；2；2；222225.解三角形（1）三角形面积公式（其中R是三角形外接圆半径，r是内切圆半径，p 111abc2SABCbcsin A acsin B absinC；SABC2R sin Asin BsinC2224Rabc)2SABC pr ppapbpc（2）正弦定理：abc 2R，其中R是三角形外接圆半径；sin Asin BsinC222b2c2a2（3）余弦定理：a b c 2bcos A，即cos A；2bca2c2b2b a c 2accosB，即cosB；2ac222a2b2c2c a b 2abcosC，即cosC；2ab（4）三角形中常

43、见结论a b A B sin AsinB222sin2Asin2B A B或A B 90；cos2A cos2B A B；A,B,C成等差数列 B 60；A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列ABC为等边三角形；（5）三角形中的恒等式sinA B sinC，cosA B cosC，tanA B tanC；sinA BCA BCA BC cos，cos sin，tan cot；222222ABCsin Asin BsinC 4coscoscos；222cos AcosBcosC 14sinABCsinsin；222sin2Asin2Bsin2C 4sin AsinBsinCcos2Acos2

44、Bcos2C 14cos AcosBcosCsin2Asin2Bsin2C 22cos AcosBcosCcos2Acos2Bcos2C 12cos AcosBcosCtan AtanBtanC tan AtanBtanCtanABBCCAtan tantan tantan1222222第六章 三角函数1.正弦函数图像对任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y sin x，它叫做正弦函数，它的定义域是实数集R；（1）值域和最值：正弦函数y sin x,xR的值域是-1,1，ymax1，此时x的集3,k Z；合是x|x 2k,k Z，ymin 1，

45、此时x的集合是x|x 2k22（2）周期性：正弦函数y sin x是周期函数，2kkZ,k 0是它的周期，2是2y sin x的最小正周期；y Asinx的周期是T；（3）奇偶性：y sin x是奇函数；（4）单调性：y sin x在闭区间2k,2kk Z上都是增函数；在闭区间223k Z上都是减函数；2k,2k22（5）对称性：正弦函数y sin x既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是x k2kZ，对称中心k,0k Z2.余弦函数图像对任意一个实数x都有唯一确定的值cos x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y cosx，它叫做余弦函数，它的定义域是实数集R R；（1）值域

46、和最值：余弦函数y cosx，xR的值域是-1,1，ymax1，此时x的集合是x|x 2k,k Z，ymin 1，此时x的集合是x|x 2k,kZ；（2）周期性：余弦函数y cosx是周期函数，2kkZ,k 0是它的周期，2是它的最小正周期；y Acosx的周期是T 2；（3）奇偶性：y cosx是偶函数；（4）单调性：余弦函数y cosx在闭区间2k,2kkZ上是增函数；在闭区间2k,2kkZ上是减函数；（5）对称性：余弦函数y cosx既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是x kk Z；对称中心k,0k Z；23.正切函数图像对任意一个实数xx k,k Z 都有唯一确定的值tanx2与

47、它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y tan x，叫做正切函数；（1）值域和最值：由y tan x的定义可以得到它的值域是实数集R R，无最值；（2）周期性：由tanx tan x可知正切函数是周期函数，是它的最小正周期（3）奇偶性：由tan x tan xx k,k Z 可知正切函数是奇函数；2（4）单调性：正切函数y tan x在区间k,kk Z内都是增函数；22 k,0k Z；（5）对称性：正切函数y tan x是中心对称图形，对称中心是24.函数y Asinx的图像与性质函数y AsinxA 0,0中的常数A,对其图像有如下影响：正数A决定了函数y Asinx的的值域为 A,

48、A，A叫做该正弦曲线的振幅；如图，y sin x与y 2sin x的图像对比，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍；正数决定了函数y Asinx周期，T f 2，在单位时间里曲线振动的次数1叫做该正弦曲线的频率；y Asinx的周期为；T2如图，y sin x与y 2sin x的图像对比，纵坐标不变，横坐标变成原来的1；2决定y Asinx在x 0时所对应的角，也决定了该正弦曲线的左右位置，我们把叫做初相；如图，y sin x与y sinx的图像对比，图像整体往左平移个单位；33三角函数的图像变换：y sin x y sinx y sinx水平方向平移个单位左加右减1横坐标变成原来的倍A倍B个单位

49、纵坐标变成原来的 y Asinx垂直方向平移 y Asinx B上加下减5.反三角函数 函数y sin x,x,的反函数叫做反正弦函数，记作y arcsin x,x1,1；函数2 2y cosx，x0,的反函数叫做反余弦函数，记作y arcsin x，x1,1；函数 y tan x，x,的反函数叫做反正切函数，记作y arctanx，x,；2 2 （1）值域：y arcsinx,；y arccosx0,；y arctanx,；2 22 2（2）奇偶性：y arcsin x与y arctanx为奇函数；y arccosx为非奇非偶函数；（3）单调性：y arcsin x与y arctanx为增函

50、数；y arccosx为减函数；（4）对称性：y arcsin x与y arctanx关于原点成中心对称，y arccosx关于点0,2成中心对称；由反三角函数的定义有以下恒等式：sinarcsin x x1 x 1；arcsinsin x x x；22cosarccosx x1 x 1；arccoscosx x0 x；tanarctan x xxR；arctantan x x x；22arcsin xarccosx 21 x 1；arctanxarccot x xR；26.最简三角方程含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集；在三角方程中，形如si