高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案.pdf

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1、第第1-51-5章和第章和第8-108-10章习题和复习题参考答案章习题和复习题参考答案第第1 1章章习题习题 1.11.1以下各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？以下各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？1 1y33 x 与y=x2是同一函数是同一函数2 2y x与y=x是同一函数是同一函数函数、极限与连续函数、极限与连续2x 1不是同一函数不是同一函数4 43 3y x1与y=y 2ln x与y=lnx2不是同一函数不是同一函数x1指出以下函数的定义域指出以下函数的定义域.1 1f(x)3 3f(x)413x 4的定义域是的定义域是,)2 2f(x)ln的定义域是的定义域是(,1)31 xl

2、n(x21)的定义域是的定义域是(,2 2,)1e4 4f(x)arcsin(ln x)的定义域是的定义域是,e5 5假设假设f(x)的定义域是的定义域是4,4，那么，那么f(x)的定义域是的定义域是2,26 6假设假设f(x)的定义域是的定义域是0,3a，那么，那么f(x a)f(x a)的定义域是的定义域是a,2a3.3.判别以下函数的奇偶性判别以下函数的奇偶性.1 1fx xsin x是奇函数是奇函数2 2数数3 3fx x2 x是非奇非偶函数是非奇非偶函数4 4fxlg1 x是奇函数是奇函数2fx xcosx是奇函是奇函1 x5 5fx cos(sinx)是偶函数是偶函数6 6fxsi

3、n x是偶函数是偶函数x7 7fx ln(x21 x)是奇函数是奇函数8 8fxcosx是偶函数是偶函数1 x2以下函数哪些在其定义域内是单调的以下函数哪些在其定义域内是单调的.1 1y sin x在其定义域内不是单调的在其定义域内不是单调的2 2y arcsin x在其定义域内是单调递增的在其定义域内是单调递增的3 3y x2 x在其定义域内不是单调的在其定义域内不是单调的4 4a 0时，时，ya 0时，时，ya 0时，时，y eax在其定义域内是单调的，其中在其定义域内是单调的，其中 eax在其定义域内是单调递减的，在其定义域内是单调递减的，eax在其定义域内是单调递增的在其定义域内是单调

4、递增的5.5.以下函数在给定区间中哪个区间上有界以下函数在给定区间中哪个区间上有界.1 1y 1x在区间(1,)上有界上有界2 2y ln(2x 1)在区间(1,10)上有界上有界3 3y x 在区间(3,4)上有界上有界4 4y sin x在区间(,0),(,),(1,1)上分别有界上分别有界6.6.以下函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期以下函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.1 1y3 sin3x是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期是232 2y cosx是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期是3 3y tan2x是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期

5、是24 4y ln(cosx 2)是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期是7.7.以下各对函数中，哪些可以构成复合函数以下各对函数中，哪些可以构成复合函数.1 1f(u)arcsin(2u),u x不可以构成复合函数不可以构成复合函数2 2f(u)ln(1u),u sin2x不可以构成复合函数不可以构成复合函数21不可以构成复合函数不可以构成复合函数2 x22x4 4f(u)arccosu,u 可以构成复合函数可以构成复合函数1 x23 3f(u)u,u ln8.8.将以下复合函数进展分解将以下复合函数进展分解.1 1对复合函数对复合函数f(x)2 2对复合函数对复合函数f(x)ex2

6、3x 4的分解结果是：的分解结果是：f(x)u,u x23x 42x3的分解结果是：的分解结果是：f(x)e,u 2x 3u3 3对复合函数对复合函数f(x)ln(2x3)的分解结果是：的分解结果是：f(x)lnu,u 2x 34 4对复合函数对复合函数f(x)arcsin(x1)的分解结果是：的分解结果是：f(x)accsinu,u x 19.9.求函数值或表达式求函数值或表达式.1 1函数函数f(x)x 2x 1sin x0,则f(2)0,f(2)-4,f(0)2,f(x2)x22x21.2 2函数函数f(x),x 12,则f(1)0,f(),f()0.42,x 1121.223 3函数函

7、数f(x)sin x,则f(arcsin)-4 4函数函数f(sin x)cos2x，那么，那么f(x)1 2x,x1,1习题习题 1.21.21.1.用观察法判断以下数列是否有极限，假设有，求其极限用观察法判断以下数列是否有极限，假设有，求其极限.1 1xn:1,113 1 5 1 7lim 0有极限，有极限，,没有极限没有极限2 2xnn2 3 4 5 6nn3 3xn sinnnnn没有极限没有极限4 4xn(1)3有极限，有极限，lim(1)n3 0n2n 1n 12.2.分析以下函数的变化趋势，求极限分析以下函数的变化趋势，求极限1 1lim11lim 02 2 0 xxx2x 13

8、 3lim ln(x 2)4 4limx2x 3 2xx 23.3.图略，图略，lim f(x)不存在不存在x04.4.以下变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？以下变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？1 1x 0时，时，100 x是无穷小量是无穷小量2 2x 0时，时，22x是无穷大量是无穷大量3 3x 时，时，x 1x是无穷小量是无穷小量4 4x 时，时，e是无穷大量是无穷大量2x 1nn2sin x5 5n 时，时，(1)是无穷大量是无穷大量6 6x 时，时，是无穷小量是无穷小量n 3x7 7x 时，时，sin5.5.函数函数f(x)1x是无穷小量是无穷小量8 8x 0时，时，2

9、1是无穷小量是无穷小量xx 1，那么那么f(x)在在x 或或x 或或x 的过程中是无穷的过程中是无穷2(x 3)小量，在小量，在x 3或或x 3或或x 3的过程中是无穷大量？的过程中是无穷大量？6.6.当当x 1时，无穷小时，无穷小1 x与以下无穷小是否同阶？是否等价？与以下无穷小是否同阶？是否等价？当当x 1时，无穷小时，无穷小1 x与无穷小与无穷小1 x同阶，但不等价同阶，但不等价当当x 1时，无穷小时，无穷小1 x与无穷小与无穷小31(1 x2)同阶，而且等价同阶，而且等价2习题习题 1.31.31.1.设函数设函数f(x)x，那么，那么limt0f(x t)f(x)1t2 xx21,x

10、 22.2.设函数设函数f(x)，那么，那么limf(x)5,limf(x)5,lim f(x)5.x2x2x22x 1,x 23.3.求以下各式的极限：求以下各式的极限：x232 1 1lim(2x x 5)152 2lim4x1x x21x2322x2 x25 23 3lim(1)4 4lim2xx0 x 4x 331 1 x2112n1 5 5lim6 6lim()22x0nn22x22nn7 7limxx2 2x 2 1x3118 8lim 3x1xx 129 9lim x(9x 13x)x2 x x111010limx11 x6(x 1)10(2x 3)102101111lim20

11、x(3x 5)203x2 ax 6 5，那么，那么a 7.4.4.limx1x 15.5.lim(x kx x)2，那么，那么k 4.x26.6.求以下极限：求以下极限：1 1limsin5x5tan2x sin x2 2lim1x0sin2xx02xcosx cos3xtan(2x x3)3 3lim 44 4lim 222x0 x0 xsin(x x)1x sin x16 6lim 0 xx0 xx sin x2arcsinx2tan x sin x17 7lim8 8lim3x0 x03x32x5 5lim xsin7.7.求以下极限：求以下极限：1 1lim(1x42x2)e82 2l

12、im(1)x1 e2xxx223 xxx 1x1)e34 4lim(3 3lim()e2x0 xx 135 5lim(1 ln x)x15ln x e56 6lim(1 cosx)sec x ex28.8.用等价无穷小替换计算以下各极限：用等价无穷小替换计算以下各极限：arctan6x4x 22 2lim2x 2x0 x0e3x11cos2xln(1 2x)3 3lim4 4 2lim 22xx0 x0 xe 11 1lim习题习题 1.41.4x21,x 1，那么，那么1.1.设函数设函数f(x)x 1,x 13f(x)在在x 1处不连续处不连续2.2.指出以下函数的连续点，并指明是哪一类连

13、续点？指出以下函数的连续点，并指明是哪一类连续点？1 1函数函数f(x)1的连续点有点的连续点有点x 1和点和点x 1，它们都是第二类连续点中的它们都是第二类连续点中的2x 11x无穷连续点无穷连续点2 2函数函数f(x)e的连续点有点的连续点有点x 0，它是第二类连续点，它是第二类连续点x213 3函数函数f(x)的连续点有点的连续点有点x 0和点和点x 1，其中点，其中点x 0是第二类连续是第二类连续(x 1)x点中的无穷连续点，点点中的无穷连续点，点x 1是第一类连续点是第一类连续点x21,x 1的连续点有点的连续点有点x 1，它是第一类连续点中的，它是第一类连续点中的4 4函数函数f(

14、x)x 1,x 10可去连续点可去连续点x2 2,x 05 5函数函数f(x)x的连续点有点的连续点有点x 0，它是第一类连续点中的跳，它是第一类连续点中的跳,x 02跃连续点跃连续点x2 4,x 2的连续点有点的连续点有点x 2，它是第一类连续点中的可，它是第一类连续点中的可6 6函数函数f(x)x 2,x 23去连续点去连续点sin x,x 0 x3.3.设函数设函数f(x)k,x 0，当，当k 1时，函数时，函数f(x)在其定义域内是连续在其定义域内是连续xsin11,x 0 x的的.4.4.求以下极限：求以下极限：x2 x2 2limlgsin x 01 1limarccosx124x

15、2esin x1ln(1 x)ln x 04 4lim3 3limcos x ln2x0ex1 2x5 5lim7 7limxx4 x211x x6 6lim1x122x2x 1ln x18 8limarctanx xexx1e45 5.略略6.6.略略复习题复习题 1 1一、单项选择题一、单项选择题1.1.以下函数中以下函数中C C是初等函数是初等函数.A Ay arcsin(x 2)B Bf(x)20 xQ1xQ x20 x 1C Cy x 1D Df(x)x 1x 122.2.以下极限存在的是以下极限存在的是B B.x311limsinA Alim4B BlimC CD Dlim ln

16、xx3x31xx1x0 x 1x3.3.当当x 0时，时，tan x与以下与以下D D不是等价无穷小不是等价无穷小.A Atan xB BxC Csin xD Dcos x4.4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的函数在某点连续是该函数在此点有定义的B B.A A必要条件必要条件B B充分条件充分条件C C充分必要条件充分必要条件D D无关条件无关条件5.5.lim22222sinax 2,那么常数那么常数a C C.x0 xA A0 0B B1 1C C2 2D D4 46.6.闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数y f(x)在在a,b上一定是上一定是C C.A A单调函数单调函数B

17、 B奇函数或偶函数奇函数或偶函数C C有界函数有界函数D D周期函数周期函数二、填空题二、填空题1.1.设设f(x)1 x x 0，那么那么f(2)4 .4 .x20 x 52.2.函数函数y cos 3x是由简单函数是由简单函数y u,u cosv,v 3x复合而成的复合而成的.3.3.点点x 1是函数是函数f(x)3x1,x 1的第一类连续点中的跳跃的第一类连续点中的跳跃连续点连续点.3 x,x 1x4.4.当当x 时，函数时，函数y 3是无穷小是无穷小.225.5.极限极限lim1=e .xx6.6.函数函数y ln(4 x)三、计算以下极限三、计算以下极限xx1的连续区间为的连续区间为

18、1,4 .x23x231.1.lim4=0=0 2.2.lim不存在不存在2x2x2x 3x x 1x21x25x61 4.4.lim23.3.lim2x12x x1x3x 8x152x48x1x2 x 15.5.lim不存在不存在1 6.6.limxx(x 2)2x257.7.limx1x2 33x21(3cos x)=0=0 8.8.lim3xx16x 19.9.limx cosx1 cos11 10.10.limx0sinx2ln(1 x)11121 12.12.lim(3)x0sin2xx2x 222x 832x11.11.lim2x)13.13.lim(1x0 x122 e 14.1

19、4.lim(1)e1xx3 x1lim15.15.x0 x四、综合题四、综合题x1 e 16.16.lim(xx1x)e2x1x210 x 11.1.函数函数f(x)在点在点x 1处不连续，在点处不连续，在点x 2处连续，函数的图像处连续，函数的图像x1x 1略。略。exx02.2.设函数设函数f(x)1x0sinxx0 xf(x)=1,=1,f(x)在点在点x 0处连续。处连续。那么那么limx0sinkx,x 02x3.3.设函数设函数f(x)，当，当k,a为任意实数时，时，f(x)在在x52ax,x 05 0处连续。处连续。4.4.略略第第2 2章章 导数与微分导数与微分习题习题 2.1

20、2.11.1.质点作直线运动方程为质点作直线运动方程为s t 3，那么该质点在，那么该质点在t 5时的瞬时速度为时的瞬时速度为 10.10.2.2.用函数用函数f(x)在在x0的导数的导数f(x0)表示以下极限表示以下极限:1 1lim3 3lim2x0f(x02x)f(x0)f(x0 x)f(x0)f(x0)2 f(x0)2 2lim x0 x2x2f(x0)f(x)f(x0t0)f(x0t0)f(x0)2 f(x0)4 4limxx0t0 x x0t003.3.利用根本公式利用根本公式xe xe11，求以下函数的导数，求以下函数的导数:1341 1y x,则y ex132 2y x,则y

21、x353 3y 31x那么那么y x64 4y 6x1x，那么那么y x8874.4.求以下曲线在指定点处的切线方程和法线方程：求以下曲线在指定点处的切线方程和法线方程：1 1y x在点在点1,1处的切线方程处的切线方程3x y 2 0，法线方程为，法线方程为x3y 4 032 2y ln x在点在点e,1处的切线方程处的切线方程xey 0，法线方程为，法线方程为ex y 1e 023 3y cosx在点在点(6,3)处的切线方程处的切线方程6x12y 6 3 0，法线方程为，法线方程为212x6y 3 3 2 05.5.在曲线在曲线y x上点上点6 6，3636处的切线平行于直线处的切线平行

22、于直线y 12x 1，(,垂直于直线垂直于直线3x y 1 0211)处的法线处的法线6 366.6.函数函数f(x)x 2,0 x 1在点在点x 1处不可导，因为处不可导，因为f(1)不存在不存在x 13x 1,习题习题 2.22.21.1.求以下函数的导数求以下函数的导数:a1x1 1y x a ln xcos xe的导数的导数y axa lnaax21sin xx113122 2y 2 x x x的导数的导数y x2 xx22x1113121)的导数的导数y xx23 3y (x 1)(22x4 4y 2tanx secx 2的导数的导数y 2sec xsecxtan x5 52y xe

23、x3log3x的导数的导数y ex xex3xlna6 6y xsin xln x的导数的导数y sin xln x xcosxln xsin x7 7y 55sin x的导数的导数y 1 cosx1cosx2*10 ln1010 x18 8y x的导数的导数y 10 1(10 x1)22.2.求以下函数在指定点的导数：求以下函数在指定点的导数：1 1f(x)ln x 3cosx 2x，那么，那么f()x225，f()21 2.2 2f(x)x sin x，求求f(0)，f().f(x)x sin x，那那么么f(0)0，22f().263x x23.3.曲线曲线y 在横坐标在横坐标x 3处的

24、切线方程为处的切线方程为x9y 9 0，法线方程为，法线方程为x227x3y79 0。习题习题 2.32.31.1.求以下函数的导数：求以下函数的导数：1 1y 2cos(4 5x)的导数的导数y 10sin(45x)2 2y (2x 3)的导数的导数y 8(2x 3)3 3y 1e的导数的导数y 4 4y lntan x的导数的导数y 2x43ex2 1ex2sin2x25 5y sec 2x的导数的导数y 4sec 2xtan2x6 6y arccos11的导数的导数y 2xxx 1的导数的导数y 7 7y x4 x2x4(4 x)4 x2x2228 8y esin3x的导数的导数y e(

25、2sin2x 3cos3x)2.2.求以下函数在指定点的导数：求以下函数在指定点的导数：1 1y 343x，在点，在点x 1处的导数是处的导数是-12 x22 2f(x)ln3，在，在x 1处的导数是处的导数是-1x 23 3y 1ln2x，在，在x e处的导数是处的导数是3.3.设函数设函数f(x)可导，求以下函数的导数可导，求以下函数的导数:12e1 1y f(2x 1)的导数的导数y 2 f(2x 1)2222 2y xf(x)的导数的导数y f(x)2x f(x)2习题习题 2.42.41.1.求由以下方程所确定的隐函数求由以下方程所确定的隐函数y y(x)的导数的导数22dy.dx

26、1 1 x y xy 1所所 确确 定定 的的 隐隐 函函 数数y y(x)的的 导导 数数2x ydyx 2ydxy(exy y)dy2 2xy e 2 0所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数xydxx(2y e)2xy 3 3 y x ln y所所 确确 定定 的的 隐隐 函函 数数y y(x)的的 导导 数数dydxyy 1eydy4 4y 1 xe所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数dx1 xeyy2.2.用对数求导法求以下函数的导数用对数求导法求以下函数的导数:dyy(xln y y)1 1x y所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数dx

27、x(yln x x)yx2 2y (cosx)1xsin x的导数的导数dy(cosx)sin x(cosxlncosx)sinxtanx)dx12dyx3 3y x的导数的导数 x(1ln x)dx4 4y 3.3.略略x 2(3 x)4dy(3 x)3(x232x 73)的导数的导数6dx(x 1)5x 2(x 1)x xy yx2y24.4.曲线曲线221在点在点(x0,y0)处的切线方程为处的切线方程为02021abab习题习题 2.52.51.1.求以下函数的二阶导数求以下函数的二阶导数:21 1y x 2x 4x1的二阶导数的二阶导数y 12x 12x432 2y sin(32x)

28、的二阶导数的二阶导数y 4sin(32x)3 3y xln2x的二阶导数的二阶导数y 2(1ln x)的二阶导数的二阶导数y 4sin(32x)xx4 x24 4y 的二阶导数的二阶导数y 12x4 x(4 x)2222.2.求以下函数在指定点处的导数：求以下函数在指定点处的导数：1 1y xcosx，那么，那么y(0)02 23.3.求以下函数的求以下函数的n阶导数阶导数:1 1y xe的的n阶导数阶导数yx(n)y arctan x，那么，那么y(0)0(x n)ex，xN*2 2y ln x的的n阶导数阶导数y4.4.函数的函数的(n2)阶导数阶导数y5.5.略略(n)(1)n1(n1)

29、!*，xNnx(n2)2ln xx(n)，那么，那么y的的n阶导数阶导数y3lnxxln x习题习题 2.62.61.1.求以下函数的微分：求以下函数的微分：1 1y x sin x 3x 4的微分的微分dy (2xsin2x3)dx2 2y xlnx2的微分的微分dy (ln x2 ln21)dx3 3y lnx22x1 x2的微分的微分dy dx1 x1 x24 4y 2xcosxsin2xsin2x的微分的微分dy dx2xxdxx的微分的微分dy 2sin xx5 5y lntanexdx6 6y arctane的微分的微分dy 1e2x7 7y xarccosx的微分的微分dy (a

30、rccosxx1 x2)dx8 8y (e exx3)的微分的微分dy 3(e3xe3xexex)dx 9 9 x y xey1eydx所所 确确 定定 的的 隐隐 函函 数数y y(x)的的 微微 分分dy 1 xey1010 xy 1所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的微分的微分dy 2.2.以下各括号中填入一个函数，使各等式成立以下各括号中填入一个函数，使各等式成立.1dx2x1dx d(arctanx)1 x213 32cos2xdx d(sin2x)4 4dx d(ln x1)x11 13x dx d(x)2 2235 5ln x2(abx)1ln x)dx d()6 6abx

31、dx d(3bx22232e2x112x2dx d()7 72dx d()8 82xe2xx3.3.求以下近似值：求以下近似值：1 1ln0.9 0.12 2cos61 0.473 3arctan1.02 1.584 4e1.01 2.754.4.一正方体的棱长一正方体的棱长x 10米，米，如果棱长增长如果棱长增长 0.10.1 米，米，那么此正方体体积增加的准确值那么此正方体体积增加的准确值为为 30.330.3 立方米，近似值为立方米，近似值为 3030 立方米立方米.复习题复习题 2 2一、单项选择题一、单项选择题1.1.函数函数y f(x)在点在点x0处可导是它在处可导是它在x0处可微

32、的处可微的C C.A A充分条件充分条件B B必要条件必要条件C C充分必要条件充分必要条件D D无关条件无关条件2.2.设设f(0)2，那么，那么lim/x0f(x)f(x)的值为的值为D D.xA A1 1B B2 2C C0 0D D4 43.3.以下各式中以下各式中k为常数正确的选项是为常数正确的选项是D D.dxd(x)x xx1 xxB B(kk)kkdxdxdxd(k)xkx1D D(xk)kxk1C CdxdxA Ax 1lnx4.4.设函数设函数fx，那么，那么fx在点在点 x=1x=1 处处B B.x 1x 1A A连续但不可导连续但不可导B B连续且连续且f 11C C连

33、续且连续且f 1 0D D不连续不连续5.5.过曲线过曲线y xln x上上M0点的切线平行直线点的切线平行直线y 2x，那么切点，那么切点M0的坐标是的坐标是D D.A A 1 1，0 0B B(e,0)C C(e,1)D D(e,e)6.6.假设假设 y y=x x(x x 1)(1)(x x 2)(2)(x x 3)3)，那么，那么y(0)=D D.A A0 0B B-1-1C C3 3D D-6-67.7.y cosx，那么，那么y8=B B.A Asin xB BcosxC CsinxD D cos x8.8.设函数设函数y f(x)可微，那么当可微，那么当x 0时，时，y dy与与

34、x相比是相比是C C.A A等价无穷小等价无穷小B B同阶无穷小同阶无穷小C C高阶无穷小高阶无穷小D D低阶无穷小低阶无穷小二、填空题二、填空题1.1.假设函数假设函数y ln3，那么，那么y=0 .=0 .2.2.设函数设函数y x1，那么，那么y(1)不存在不存在 .3.3.变变 速速 直直 线线 运运 动动 的的 运运 动动 方方 程程 为为s(t)t 2t，那那 么么 其其 加加 速速 度度 为为a(t)2 .2 .4.4.曲线曲线y 2x在点在点4,24,2处的切线方程是处的切线方程是x4y 4 0 .5.5.d(cos x)=sin xdx.6.6.设设fx xln x，且，且f

35、 x0 2，那么，那么fx0=e.三、计算题三、计算题1.1.求以下函数的导数：求以下函数的导数：1 1y 1 2x x3 2x2的导数的导数y 8x312x22x2x2 2y xln x sin x cosx的导数的导数y ln xsin xcosx134x3x23x 23 3y 2的导数的导数y(x21)2x 14 4y e2x1的导数的导数y 2e2x15 5y lncosx的导数的导数y tan x6 6y arctanx的导数的导数y 12 x(1 x)27 7y x sin111的导数的导数y 2xsincosxxx12x8 8y x1x的导数的导数y x(1ln x)dy：dxd

36、yy dxx2.2.求由以下方程所确定的隐函数求由以下方程所确定的隐函数y y(x)的导数的导数1 1x y a 0所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数2 2cosxy x所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数dy1 ysin(xy)dxxsin(xy)3 3y xln y所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数4 4ey ex xy 0，那么，那么f(0)03.3.求以下函数的二阶导数：求以下函数的二阶导数：dyyln ydxy x1 1y sinax cosbx的二阶导数的二阶导数y a sinaxb cosbxx2 2y xe的二阶导数的二阶导数

37、y (x2)e222x3 3y sinx的二阶导数的二阶导数y 2cos x 4x sin x2222(x22)4 4y lnx 2的二阶导数的二阶导数y 2(x 2)224.4.求以下函数的微分：求以下函数的微分：1 1y x21的微分的微分dy xx 12dx(1 x2)cosx2xsin xsin xdx2 2y 的微分的微分dy 222(1 x)1 x3 3y sinln x的微分的微分dy 4 4ycos(lnx)dxx excosx的微分的微分dy (sin xcos x)exdx四、应用题四、应用题1.1.有一批半径为有一批半径为1cm的球，为减少外表粗糙度，要镀上一层钢，厚度为

38、的球，为减少外表粗糙度，要镀上一层钢，厚度为0.01cm，那么，那么每只球大约需要用铜每只球大约需要用铜 0.280.28 克克x2,其中其中x2.2.某公司生产一种新型游戏程序，某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部售出，假设能全部售出，收入函数为收入函数为R 36x 20为公司一天的产量，为公司一天的产量，如果公司每天的产量从如果公司每天的产量从 250250 增加到增加到 260260，那么估计公司每天收入的增加那么估计公司每天收入的增加量大约是量大约是 110110.第第 3 3 章章微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用习题习题 3.13.11.1.函数函数f(x)cosx

39、在在0,2上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的2.2.函数函数f(x)ln(x 1)在在00，11上，验证满足拉格朗日中值定理的条件略上，验证满足拉格朗日中值定理的条件略，满足拉，满足拉格朗日中值定理结论中的格朗日中值定理结论中的11ln223 3f(x)2x 1,g(x)x在区间在区间-1-1，22上满足柯西中值定理结论中的上满足柯西中值定理结论中的2124.4.A(1,1)与与B(3,3)是曲线是曲线y 2x x上的两点，那么该曲线上点上的两点，那么该曲线上点2 2，0 0处的切线处的切线平行于弦平行于弦AB.5.5.略略6.6.略略习题习题 3

40、.23.21.1.求以下极限：求以下极限：x32x11exex (2)(2)lim不存在(1)(1)lim32x1x04x 412xx2ln x(3)(3)lim 0 (4)(4)lim3x0 xexxlnxsinxsinalim cosa (6)(6)(5)(5)lim1xax0lnsinxxax11111)(8)(8)lim(x)(7)(7)lim(x1x1x0 xln x2e 12x(9)(9)lim xcot x1 (10)(10)lim x1x0 x02 2以下极限可否用洛必塔法那么去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限以下极限可否用洛必塔法那么去求，为什么？并用常规方法求出它们的

41、极限.exex1 1limx不可用洛必塔法那么去求，不可用洛必塔法那么去求，否那么会总是出现否那么会总是出现的情形，的情形，用常规方用常规方xe exexex法求得法求得limx1xe exxsin x2 2lim不可用洛必塔法那么去求，否那么会出现等式右端无极限的情形，不可用洛必塔法那么去求，否那么会出现等式右端无极限的情形，xxxsin x但并不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得但并不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得lim1xx9sin3xab3.3.当当a 3,b 时时,极限极限lim 032x0 xx2 xc4.4.当当c ln2时时,极限极限lim 4xxcx习题习题 3.

42、33.31.1.求以下函数的单调区间：求以下函数的单调区间：1 1y ln(1 x)在区间在区间(,0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(0,)内单调递增内单调递增2 2y x 24在区间在区间(,2)与区间与区间(2,)内单调递增，内单调递增，在区间在区间(2,2)内单调递减内单调递减x3 3y x在区间在区间(0,100)内单调递增，在区间内单调递增，在区间(100,)内单调递减内单调递减x100 x2(4)(4)y 在区间在区间(,2)与区间与区间(0,)内单调递增，在区间内单调递增，在区间(2,1)与区间与区间1 x(1,0)内单调递减内单调递减5 5y xln(1 x)在区间在区

43、间(1,0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(0,)内单调递增内单调递增2(6)(6)y x ln x在区间在区间(0,11)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(,)内单调递增内单调递增ee7 7y arctanx x在区间在区间(,)内单调递减内单调递减(8)(8)y 2x ln x在区间在区间(0,)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(,)内单调递增内单调递增9 9y 3x 4x在区间在区间(,1)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(1,)内单调递增内单调递增1010y 43212122x x3在在区区间间(2,6)与与区区间间(2,)内内单单调调递递减减，在在区区间间3(6,0

44、)内单调递增内单调递增32.2.略略3.3.略略4.4.求以下函数的极值：求以下函数的极值：233201 1y (x1)x的极小值有的极小值有y()，极大值有，极大值有y(0)0525322 2y 3 3y 2x x2的极大值有的极大值有y(1)1，无极小值，无极小值222，无极大值，无极大值x 3x的极小值有的极小值有y()4334 4非零常数非零常数c 0时，时，y c(x 1)的极大值有的极大值有y(0)c，无极小值，无极小值非零常数非零常数c 0时，时，y c(x 1)的极小值有的极小值有y(0)c，无极大值，无极大值5 5y x 1 x的极大值有的极大值有y()6 6y x e7 7

45、y 2x2222345，无极小值，无极小值442e的极小值有的极小值有y(0)0，极大值有，极大值有y(2)132 x x2的极大值有的极大值有y()，无极小值，无极小值22138 8y 32x1无极小值，也无极大值无极小值，也无极大值9 9y(x2)(3 x)121的极大值有的极大值有，无极小值，无极小值y()2x5241010y 32x x22的极小值有的极小值有y(0)0与与y(2)0，极大值有，极大值有y(1)15 5要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为 500500 立方米立方米.底面为正方形，设底面与四壁底面为正方形，设底面与四壁的单位造价一样，那么

46、底取的单位造价一样，那么底取 1010 米高取米高取 5 5 米时，才能使所用材料最省米时，才能使所用材料最省.6 6将边长为将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形如图等的四边形如图 3.93.9 所示所示，然后将其沿虚线，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子折起，做成一个无盖正三棱柱盒子.那么当图中的那么当图中的xa32a取取时，该盒子容积最大，求出的最大容积为时，该盒子容积最大，求出的最大容积为.5437.7.某厂生产某种产品，其固定本钱为某厂生产某种产品，其固定本钱为 100100 元，元，每多生产一件产品本钱增加每多生产一件产品本钱增加 6 6 元

47、，又知该产品的需元，又知该产品的需x图 3.9求函数为求函数为Q 1000 100p.那么产量为那么产量为 200200 件时可使利润最大，最大利润是件时可使利润最大，最大利润是 300300 元元8 8 某个体户以每条某个体户以每条 1010 元的价格购进一批牛仔裤，元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为设此牛仔裤的需求函数为Q 40 p那么该个体户将销售价定为每条那么该个体户将销售价定为每条 3030 元时，才能获得最大利润元时，才能获得最大利润习题习题 3.43.4yax1x2x5bx1.1.根据函数根据函数f(x)的图像的图像1 1f(x)在点在点x x1、点、点x x2与点与

48、点x x1处改变符号处改变符号2 2f(x)在点在点x x2处有极大值，在点处有极大值，在点x x4处有极小值处有极小值3 3 略略2.2.讨论以下曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：讨论以下曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：图 3.141 1曲线曲线y xln x在区间在区间(0,)内是凹的，无拐点内是凹的，无拐点2 2 曲线曲线y 曲线曲线y 2在区间在区间(0,)内是凹的，内是凹的，点点(0,0)是是x 3x在区间在区间(,0)内是凸的，内是凸的，32x 3x的拐点的拐点3323 3曲线曲线y x 5x 3x5在区间在区间(,)内是凸的，在区间内是凸的，在区间(,)内是凹的，内是凹的，点点(,

49、535353250)是曲线是曲线y x35x23x5的拐点的拐点27534 4曲线曲线y x x在区间在区间(,0)内是凸的，在区间内是凸的，在区间(0,)内是凹的，点内是凹的，点(0,0)是曲是曲线线y x x的拐点的拐点5 5 曲线曲线y 2x x在区间在区间(,)内是凹的，内是凹的，在区间在区间(,)内是凸的，内是凸的，点点(,是曲线是曲线y 2x x的拐点的拐点6 6 曲线曲线y ln(1 x)在区间在区间(,1)与区间与区间(1,)内是凸的，内是凸的，在区间在区间(1,1)内是凹内是凹的，点的，点(1,ln2)与点与点(1,ln2)都是曲线都是曲线y ln(1 x)的拐点的拐点7 7

50、曲线曲线y xe在区间在区间(,2)内是凸的，在区间内是凸的，在区间(2,)内是凹的，点内是凹的，点(2,线线y xe的拐点的拐点8 8曲线曲线y 1线线y 133532323232 16)3 272322x2)是曲是曲e2xx在区间在区间(,0)内是凹的，在区间内是凹的，在区间(0,)内是凸的，点内是凸的，点(0,1)是曲是曲x的拐点的拐点9 9曲曲线线y 331(,)(,)内内都都是是凹凹的的，在在区区间间在在区区间间与与区区间间2331 x(333 33 31,)内是凸的，点内是凸的，点(,)与点与点(,)都是曲线都是曲线y 的拐点的拐点23334341 x1010 曲线曲线y xex1