高考数学高考必备知识点总结精华版.pdf

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1、高考复习数学高中数学第一章高中数学第一章-集合集合（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为A A；空集是任何集合的子集，记为 A；空集是任何非空集合的真子集；如果A B，同时B A，那么 A=B.如果A B，B C，那么A C.注：Z=整数（）Z=全体整数（）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集（.）（例：S=N；A=N，则 C CsA=0）空集的补集是全集.若集合 A=集合 B，则 C CBA=，C

2、CAB=C CS（C CAB）=D（注：C CAB=）.3.（x，y）|xy=0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集.（x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例：x y 3解的集合(2，1).2x3y 1点集与数集的交集是.（例：A=(x，y)|y=x+1B=y|y=x2+1则 AB=）4.n个元素的子集有2n个.n个元素的真子集有2n1个.n个元素的非空真子集有2n2个.5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：若a b 5，则a 2或b

3、3应是真命题.解：逆否：a=2 且 b=3，则 a+b=5，成立，所以此命题为真.x 1且y 2，x y 3.解：逆否：x+y=3x 1且y 2x=1 或 y=2.x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若x 5，x 5或x 2.4.集合运算：交、并、补.交：AB x|x A,且xB并：AB x|x A或xB补：CUA xU,且x A5.主要性质和运算律第 1 页 共 56 页高考复习数学（1）包含关系：A A,A,AU,CUAU,A B,B C A C;AB A,AB B;AB A,AB B.B A AB B CB

4、UUA（2）等价关系：A B A（3）集合的运算律：交换律：A B B A;A B B A.结合律:(A B)C A(B C);(A B)C A(B C)分配律:.A(B C)(A B)(AC);A(B C)(A B)(AC)0-1 律：A ,A A,UA A,UAU等幂律：A A A,A A A.求补律：ACUA=ACUA=U=U C CUU=C CU U=U反演律：CU(AB)=(C(CUA)(C CUB)C)CU(AB)=(C(CUA)(C CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card(A)规定 card()=0.基本公式：(1)card

5、(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)card(Ccard(ABC)(3)card(UA)=)=card(U)-card(A)A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.1.整式不等式的解法整式不等式的解法根轴法根轴法（零点分段法）将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；2一元二次不等式 ax+box0(a0)解的讨论.二次函数 0 0 0y ax2bx c（a 0）的图象一元二次方程有两相

6、异实根有两相等实根无实根ax bxc 02a 0的根ax2bxc 0(a 0)的解集ax2bxc 0(a 0)的解集x1,x2(x1 x2)bx1 x2 2ax x x 或x x12b x x 2a Rx x1 x x22.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为f(x)f(x)f(x)f(x)0(或0)；0(或0)的形式，g(x)g(x)g(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法f(x)f(x)f(x)g(x)0 0 f(x)g(x)0;0 g(x)0g(x)g(x)（1）公式法：axb c,与axb c(c 0)型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”

7、分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布2一元二次方程 ax+bx+c=0(a0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq”)；p 且 q(记作“pq”)；非p(记作“q”)。3、“或

8、”、“且”、“非”的真值判断互 逆原 命 题逆 命 题若 p则 q若 q则 p（1）“非 p”形式复合命题的真假与F 的真假相反；互互否为逆否互否逆 否 命 题若 q则 p为互逆否第 3 页 共 56 页否 命 题若 p则 q互逆高考复习数学（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真4、四种命题的形式：原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题

9、是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章高中数学第二章-函数函数（一）映射与函

10、数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y f(x)(x A)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到x=(y).若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y f(x)(x A)的反函数，记作x f1(y),习惯上改写成y f1(x)（

11、二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数；若当 x1f(x2),则说 f(x)在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性第 4 页 共 56 页高考复习数学正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1 1）定义域在数轴上关

12、于原点对称是函数）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇为奇函数或偶函数的必要不充分条件；函数或偶函数的必要不充分条件；（2 2）f(x)f(x)或或f(x)f(x)是定义域上的恒等式。是定义域上的恒等式。2 2奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反减性相反.4 4

13、如果如果f(x)是偶函数，是偶函数，则则f(x)f(|x|)，反之亦成立。反之亦成立。若奇函数在若奇函数在x 0时有意义，则时有意义，则f(0)0。7.奇函数，偶函数：偶函数：f(x)f(x)设（a,b）为偶函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：y x21在1,1)上不是偶函数.满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，奇函数：f(x)f(x)设（a,b）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：y x3在1,1)上不是奇函数.满足f(x)f(x)，

14、或f(x)f(x)0，若f(x)0时，y轴对称 y f（x）8.对称变换：y=f（x）f(x)1.f(x)f(x)1.f(x)x轴对称 y f（x）y=f（x）y f（x）y=f（x）原点对称9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：（x1 x2）(x1 x2)222f(x1)f(x2)x2bx b1222xxb2x1b2在进行讨论.第 5 页 共 56 页高考复习数学10.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x）=1+x的定义域为 A，函数 f f（x）的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间1xB的关系是A.解：f(x)的值域是f(f(x)的

15、定义域B，f(x)的值域R，故BR，而 Ax|x1，故BA.11.常用变换：f(xy)f(x)f(y)f(xy)证：f(xy)f(x).f(y)f(y)f(x)f(xy)yf(xy)f(y)f(x)xf()f(x)f(y)f(x y)f(x)f(y)yxx证：f(x)f(y)f()f(y)yy12.熟悉常用函数图象：1例：y2|x|关于y轴对称.y2|x|x 2|11yy22|x|x 2|yyy(0,1)x(-2,1)xxy|2x2x 1|y|关于x轴对称.2y熟悉分式图象：2x 17定义域x|x3,xR，例：y2x3x3值域y|y2,yR值域x前的系数之比.xy2x3（三）指数函数与对数函数

16、xya(a0且a1)的图象和性质指数函数图象a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1.（5）在 R 上是减函数第 6 页 共 56 页高考复习数学对数函数 y=logax 的图象和性质:对数运算：loga(MN)logaMlogaNlogaMNnnN(1)logaMlogaNnlogaM1logaMnlogbNlogbalogaMlogaaloga12)MN换底公式：logaN推论：logab logbc logca1loga1a2 loga2a3.logan 1anloga1an（以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1）

17、注：当a,b 0时，log(ab)log(a)log(b).：当M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“”.2例如：logax 2logax(2logax中 x0 而logax2中 xR）.y ax（a 0,a 1）与y logax互为反函数.当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.（四）方法总结对数运算：yy=logy=loga ax xa1a1图象Oxx=1x=1a1a0（5）在（0，+）上是增函数x(1,)时y 0在（0，+）上是减函数第 7 页 共 56 页高考复习数学loga(M N)logaM logaN(1)loga

18、M logaM logaNN1logaMnlogaMn nloga M12)loganM alogaN NlogbNlogba换底公式：logaN 推论：logablogbc logca 1 loga1a2loga2a3.logan1an loga1an（以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1）注：当a,b 0时，log(ab)log(a)log(b).：当M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“”.例如：logax2 2logax(2logax中 x0 而logax2中 xR）.y ax（a 0,a 1）与

19、y logax互为反函数.当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x2是所研究区间内任

20、两个自变量，且 x1x2；判定 f(x1)与 f(x2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学高中数学 第三章第三章数列数列定义等差数列an1an d等比数列an1 q(q 0)an第

21、 8 页 共 56 页高考复习数学递 推 公式通 项 公式中项anan 1d；anamnmdana1(n 1)danan 1q；anamqn mana1qn 1（a1,q0）Aan kan k（n,kN*,nk0）Gan kan k(an kan k0)2（n,kN*,nk0）前n项和Snn(a1an)2n(n1)d2Snna1na1(q1)Sna11qna1anq(q2)1q1q重 要 性质*amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)等差数列amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)1.等差、等比数列：定义等比数列an为A Pan 1and(常数）an为GPan 1anq(常数）通

22、项公式求和公式an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dana1qn 1akqn kn(a1an)n(n1)na1d22d2dn(a1)n22snA=(q1)na1sna1(1qn)a1anq(q1)1q1q中项公式ab2推广：2an=an man mG2ab。推广：anan man m2若 m+n=p+q，则amanapaq。若kn成等比数列（其中knN），则akn成等比数列。性质12若 m+n=p+q 则amanapaq若kn成 A.P（其中knN）则akn也为 A.P。看数列是不是等差数列有以下三种方法：anan 1d(n2,d为常数)第 9 页 共 56 页34sn,

23、s2nsn,s3ns2n成等差数列。sn,s2nsn,s3ns2n成等比数列。dana1aman(mn)n1mnqn 1ana，qn mn(mn)a1am高考复习数学2an an1an1(n 2)an knb(n,k为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：an an1q(n 2,q为常数,且 0)2 an1an1(n 2，anan1an1 0)an注：i.b ac，是 a、b、c 成等比的双非条件，即b acii.b ac（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要.iii.b ac为 a、b、c 等比数列的必要不充分.iv.b ac且ac 0为 a、b、c 等比数列的充要.a、b、c

24、 等比数列.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个.an cqn(c,q为非零常数).正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x 1）成等比数列.s1 a1(n 1)a数列an的前n项和Sn与通项an的关系：nsnsn1(n 2)注：ana1n1d nd a1d（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差an前 n 项和Sn An2Bn n2a1n d 2d 2d可以为零也可不为零为等差的充要条件2若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列

25、，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k Sk,S3k S2k.；若等差数列的项数为 2n nN，则S偶S奇nd，S奇S偶anan1；nn1若等差数列的项数为2n 1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇 代入n到2n 1得到所求项数.3.常用公式：1+2+3+n=122232n2nn12S偶nn12n162nn1132333n32注：熟悉常用通项：9，99，999，an10n1；5，55，555，an5n10 1.94.等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第

26、一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数第 10 页 共 56 页高考复习数学列，公比为1 r.其中第n年产量为a(1r)n1，且过n年后总产量为：2n1aa(1r)a(1r).a(1r)aa(1r)n.1(1r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 r)n元.因此，第二年年初可存款：121110a(1r)a(1r)a(1r)a(1r)1(1r)12.a(1r)=.1(1r)分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率.a1r x1rmm1 x1rm2.x1

27、r x a1rmx1rm1ar1rm x r1rm15.数列常见的几种形式：an2 pan1qan（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程x2 Pxq（x2对应an2，x 对应an1），并设二根x1,x2若x1x2可设nnan.c1xn1c2x2，若x1x2可设an(c1c2n)x1；由初始值a1,a2确定c1,c2.an Pan1r（P、r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n 转化为an2 Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.转化等差，等比：an1x P(anx)an1 PanPx x x

28、 选代法：an Pan1r P(Pan2r)r an(a1Pn1a1Pn2r Prr.r.P 1rr)Pn1(a1x)Pn1xP 1P 1用特征方程求解：an1 Panran1an PanPan1an1（P1）anPan1.相减，an Pan1rrrrr，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn1.1 PP 1P 11 P由选代法推导结果：c16.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn，在d 0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an 0,an1 0，成立的n值；二是由Snd2dn(a1)n利用二次函数的性质求n的值.22如果数列可以看作是一个等差数列

29、与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列111前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,.(2n1)n,.242两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证第 11 页 共 56 页高考复习数学anan1(an)为 同 一 常 数。(2)通 项 公 式 法。(3)中 项 公 式 法:验 证an122an1 an an2(an1 anan2)n N都成立。3.在等差数列an中,有关 Sn的最

30、值问题：(1)当a10,d0 时，满足am 0的项数 m 使得sm取a 0m1am 0最大值.(2)当a10 时，满足的项数 m 使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题am1 0时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。c2.裂项相消法:适用于其中an是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、a ann1含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于anbn其中an是等差数列，bn是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+.+n=n(n1)

31、222）1+3+5+.+(2n-1)=n13）1 2 n n(n 1)233324）1 2 3 n 5）22221n(n 1)(2n 1)611111 11()n(n 1)nn 1n(n 2)2 nn 21111()(p q)pqq ppq6）高中数学第四章高中数学第四章-三角函数三角函数1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,k Z终边在 x 轴上的角的集合：|k180,k Z终边在 y 轴上的角的集合：|k18090,k Z第 12 页 共 56 页高考复习数学3y2sinx1cosxcosx16.几个重要结论:(1)y y(2)y ysinx4cosxcos

32、x1sinx2|sinx|cosx|sinxcosxxO O|cosx|sinx|x xO O|cosx|sinx|x xcosxsinx|sinx|cosx|(3)若 ox,则sinxx0 时,a与a同向;a (x,y)(a b)a bb 解的讨论；2一元二次不等式 ax+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0 g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1 f(x)0定义域f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)03f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f

33、(x)g(x)2f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)g(x)（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a 1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0 a 1)f(x)g(x)af(x)b(a 0,b 0)f(x)lga lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式 f(x)0logaf(x)logag(x)(a 1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0 a 1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式1 应用分类讨论思想去绝对值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

34、g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：x(1 x)211 242x(1 x)(1 x)()322 32722x2(1 x2)(1 x2)1 2342 3y x(1 x)y()y 22 32792第 24 页 共 56 页高考复习数学22类似于y sin xcos x sin x(1sin x)，|x1|x|1|(x与1同号，故取等)2xxx高中数学第七章高中数学第七章-直直线线和和圆圆的的方方程程一、直线方程一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫

35、做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0).注：当 90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a 0,b 0)时，直线方程是：xy1.ab注：若y 222x2是一直线的方程，则这条直线的方程是y x2，但若y x2(x 0)则不是333这条线.附：直线系：对

36、于直线的斜截式方程y kxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.两条直线平行：l1l2k1k2两条直线平行的条件是：l1和l2是两条不重合的直线.在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：

37、如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1l212.两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k2 1这里的前提是l1,l2的斜率都存在.l1l2k1 0，且l2的斜率不存在或k2 0，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B1 0是垂直的充要条件）4.直线的交角：直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时k k所转动的角，它的范围是(0,)，当 90时tan21.1k1k2两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小k2k10,ta

38、n的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是，当，则有.9021k k12l1:A1xB1y C1 0的交点的直线系方程A1xB1y C1(A2xB2y C2)0(为参数，l:A xB y C 022225.过两直线A2xB2yC2 0不包括在内）6.点到直线的距离：第 25 页 共 56 页高考复习数学点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax ByC 0,P到l的距离为d，则有d 注：221.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P.1P2|(x2 x1)(y2 y1)Ax0By0CA B22.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：|OP|x2 y

39、22.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1 2所成的比为即PP1PP2x1x2y y2,y 111特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0180）、斜率:k tanx 4.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k 当x1y2 y1.x2 x1(x1 x2)x2,y1 y2（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax ByC1 0,l2:Ax ByC2 0(C1C2)，它们之间的距离为d，则有d C1C2A B22.注；直

40、线系方程1.与直线：Ax+By+C=0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(mR,Cm).2.与直线：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B 不全为 0)4.过直线 l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+(A2x+B2y+C2）=0(R）注：该直线系不含 l2.7.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行

41、，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（y xb）对称的解法：y 换 x，x 换 y.例：曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=x2对称曲线方程是 f(y+2,x 2)=0.曲线 C:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线方程是 f(a x,2b y)=0.二、圆的方程二、圆的方程.1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)0的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个

42、方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.第 26 页 共 56 页高考复习数学曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)0的解；反过来，满足方程f(x,y)0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，那么点 P0(x0,y)线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(y b)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2

43、r2.注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程(xa)2(y b)2b2r b,圆心(a,b)或(a,b)与y轴相切的圆方程(x a)2(y b)2a2r a,圆心(a,b)或(a,b)与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(y a)2a2r a,圆心(a,a)3.圆的一般方程：x2y2Dx Ey F 0.DE 当D E 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r 2222D2E24F.2当D2E24F 0时，方程表示一个点DE,.22当D2E24F 0时，方程无图形（称虚圆）.x ar cos注：圆的参数方程：（为参数）.y brsin方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要

44、条件是：B 0且A C 0且D2E24AF 0.圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(y y1)(y y2)0（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(y b)2r2.M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2（x0a)2(y0b)2r2M在圆C上M在圆C外(x0a)2(y0b)2r25.直线和圆的位置关系：设圆圆C：(xa)2(y b)2r2(r 0)；直线l：Ax By C 0(A2B2 0)；圆心C(a,b)到直线l的距离d d r时，l与C相切；22x y D1xE1y F1 0附：若两圆相切，则相减为公切线方程.2

45、2x y D2xE2y F2 0Aa BbCA B22.d r时，l与C相交；附：公共弦方程：设C1:x2y2D1x E1y F1 0C2:x2y2D2x 027 页 共 56 页E2y F2第高考复习数学有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.d r时，l与C相离.22x y D1xE1y F1 0附：若两圆相离，则相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.22x y D2xE2y F2 0(xa)2(yb)2r2由代数特征判断：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别Ax BxC 0式为，则：0 l与C相切；0 l与C相交；0 l与C相离.注：若两

46、圆为同心圆则x2y2D1xE1y F1 0，x2y2D2xE2y F2 0相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是y kx 1k2r过圆x2y2Dx Ey F 0上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0 xy0y Dxx0y y0 E F 0.22一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地，过圆x2y2r2上一点AP(x0,y0)的切线方程为x0 xy0y r2.y1y0 k(x1x0)by1k(ax1)，联立求出k 切线方程.若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则R R21BCD(a,b)7.求切点

47、弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD 四类共圆.已知O的方程x2y2Dx Ey F 0 又以 ABCD 为圆为方程为(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2(xAa)2(yAb)2，所以 BC 的方程即代，相切即为所求.R 4三、曲线和方程21.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：1）曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解（纯粹性）；2）方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线C 上（完备性）。则称方程f(x,y)=0 为曲线 C 的方程，曲线C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。2.

48、求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2）参数法;3）定义法，4）待定系数法.高中数学第八章高中数学第八章-圆锥曲线方程圆锥曲线方程一、椭圆方程一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：第 28 页 共 56 页高考复习数学PF1 PF2 2a F1F2方程为椭圆,PF1 PF2 2a F1F2无轨迹,PF1 PF2 2a F1F2以F1,F2为端点的线段椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在 x 轴上：xa2222y2b21(a b 0).ii.中心在原点，焦点在y轴上：ya22x2b21(a b 0).一般方程：Ax By 1(A 0,B 0).椭圆的标准参数方程：2x

49、2a2y2b2x acos（一1的参数方程为y bsin象限应是属于0）.顶点：对称轴：x 轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.焦点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).轴：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).焦距：F1F2焦点半径：i.设P(x0,y0)为椭圆x2a2a2a2c或y .离心率：x 2c,c a b.准线：e(0 e 1).cca22y2b2PF1 a ex0,PF2 a ex01(a b 0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设P(x0,y0)为椭圆x2b2y2a2PF1 a ey0,PF2 a ey01(a b 0)上的一

50、点，F1,F2为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：pF1 e(x0a)a ex0(x0 0),pF2 e(ax0)ex0a(x0 0)归结起来为“左加右减”.cc22注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d 共离心率的椭圆系的方程：椭圆x2a2y2b2x2a2y2b22b2a2b2b2(c,)和(c,)aa1(a b 0)的离心率是e c(c a2b2)，方程a t(t是大于 0 的参数，a b 0)的离心率也是e x2a2y2b2c我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a若 P 是椭圆