48高阶导数与高阶微分讲解优秀PPT.ppt

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1、第八节第八节 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例三、高阶微分三、高阶微分10/29/20221福州高校数学与计算机学院一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义记作记作10/29/20222福州高校数学与计算机学院三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,10/29/20223福州高校数学与计算机学院二、高阶导数求法举例二、高阶导

2、数求法举例例例1 1解解1.1.干脆法干脆法:由高阶导数的定义逐步求高阶导由高阶导数的定义逐步求高阶导数数.10/29/20224福州高校数学与计算机学院例例2 2解解同理可得同理可得10/29/20225福州高校数学与计算机学院例例3 3解解同理可得同理可得10/29/20226福州高校数学与计算机学院例例4 4解解特殊地特殊地10/29/20227福州高校数学与计算机学院例例5 5解解留意留意 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法证明证明)10/29/20228福州高

3、校数学与计算机学院例例6 6解解10/29/20229福州高校数学与计算机学院2.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式10/29/202210福州高校数学与计算机学院例例7 7解解10/29/202211福州高校数学与计算机学院3.3.间接法间接法常用高阶导数公式常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.10/29/202212福州高校数学与计算机学院例例8 8解解10/29/202213福州高校数学与计算机学院例例1 1解解 隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数用复合函数

4、求导法则用复合函数求导法则,干脆对方程两边对干脆对方程两边对x逐次逐次求导求导,(y是是x的函数的函数),最终解出最终解出y的高阶导数的高阶导数.10/29/202214福州高校数学与计算机学院10/29/202215福州高校数学与计算机学院例例2 2解解10/29/202216福州高校数学与计算机学院参数方程的高阶导数10/29/202217福州高校数学与计算机学院例例1 1解解10/29/202218福州高校数学与计算机学院10/29/202219福州高校数学与计算机学院例例3设设连续，连续，求求.不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求解解10/29/202220福州高校数学与计算机学院

5、10/29/202221福州高校数学与计算机学院例例3 3例例4 410/29/202222福州高校数学与计算机学院例例5 510/29/202223福州高校数学与计算机学院一阶微分的定义一阶微分的定义三三 高阶微分高阶微分10/29/202224福州高校数学与计算机学院若若可微时，称它的微分可微时，称它的微分为为y的的二阶微分二阶微分，记为，记为.当当可微时，可微时，一般地，当一般地，当y的的n-1-1阶微分阶微分可微时，可微时，为为y的的三阶微分三阶微分，记为，记为称它的微分称它的微分二阶微分：二阶微分：n阶微分：阶微分：称称n-1阶微分的微分称为阶微分的微分称为n阶微分，记作阶微分，记作

6、高阶微分：高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1高阶微分的定义高阶微分的定义10/29/202225福州高校数学与计算机学院2.高阶微分的求法高阶微分的求法 用同样的方法，得用同样的方法，得这里这里dx 的是的是x处的产生的增量处的产生的增量,与变量与变量x无关无关,视作常数视作常数 即即y的的 n阶微分等于它的阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分阶导数乘上自变量的微分的的 n次方次方.10/29/202226福州高校数学与计算机学院但对于复合函数我们就不能得出这一公式但对于复合函数我们就不能得出这一公式 这时才回能到前面导出的公式这时才回能

7、到前面导出的公式这里这里当当u的是自变量的是自变量x时时,这事实也说明高阶导数不具有形式不变性这事实也说明高阶导数不具有形式不变性所以所以10/29/202227福州高校数学与计算机学院对于复合函数我们就不能得出对于复合函数我们就不能得出 留意这里记号留意这里记号如如n=2时时,应有应有表示不同含义表示不同含义,不能混淆不能混淆.10/29/202228福州高校数学与计算机学院例例1求求的二阶微分的二阶微分.解解:所以所以若把若把看成是由看成是由复合而成的函数，复合而成的函数，则则所以所以且且10/29/202229福州高校数学与计算机学院例例2设设分别依公式（分别依公式（1）、）、（2）求）求解解由由得得依公式（依公式（1）得）得类似地，依公式（类似地，依公式（2）得）得10/29/202230福州高校数学与计算机学院三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法：阶导数的求法：1.干脆法干脆法;2.间接法间接法.10/29/202231福州高校数学与计算机学院