02-线性规划基本概念-应用-标准型-图解法-灵敏度分析优秀PPT.ppt

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1、1Linear Programming线性规划第一部分、第一部分、线性规划线性规划1.1线性规划的概念线性规划的概念一、线性规划问题的导出一、线性规划问题的导出1(引例引例)配比问题配比问题用浓度为用浓度为45%和和92%的硫酸配置的硫酸配置100千克浓度为千克浓度为80%的硫酸。的硫酸。取取45%和和92%的硫酸分别为的硫酸分别为x1和和x2千克千克,则有：则有：求解二元一次方程组得解。求解二元一次方程组得解。目的相同，但有目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可种不同浓度的硫酸可选（选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么状况？会出现什么状况？取取这这5种种硫硫酸酸分分别别为为x1

2、、x2、x3、x4、x5千克千克,则有：则有：有多少种配比方案？为什么？有多少种配比方案？为什么？何为最好？何为最好？5种硫酸价格分别为：种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元元/千克，则有：千克，则有：某工厂在支配期内要支配、两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？2.2.生产支配问题：生产支配问题：生产支配问题：生产支配问题：71.1 线性规划问题及的数学模型线性规划问题及的数学模型单位活动单位活动对对z的贡献的贡献 c1 c2 cn a11 a12 a1n

3、b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm资源可利用量资源可利用量 单位活动对资源的使用量单位活动对资源的使用量12n资源资源12 m表：表：线性规划模型所需数据线性规划模型所需数据一般的产品组合问题：一般的产品组合问题：设有设有m种资源用于生产种资源用于生产n种不同产品，种不同产品，各种资源的拥有量分别为各种资源的拥有量分别为bi(i i=1,2,m).).生产单位第生产单位第j种产品种产品时将消费第时将消费第i种资源种资源aij单位，利润为单位，利润为cj元，见下表：元，见下表：81.1 线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型线性规划模型的一般形式线性规划模型

4、的一般形式 Max (Min)z=c1 x1+c2 x2+cn xns.ta11 x1+a12x2+a1n xn (=,)b1a21 x1+a22x2+a2n xn (=,)b2 am1 x1+am2 x2+amn xn (=,)bmx1，x2，xn 0利润系数利润系数/成本系数成本系数资源限制量资源限制量技术系数技术系数/消耗系数消耗系数决策变量决策变量9线性规划应用举例线性规划应用举例例例:某工厂要用三种原料某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。假设混合没有质量损的产品甲、乙、丙，数据如下表。假设混合没有质量损耗。问：该厂应如

5、何支配生产，使利润收入为最大？耗。问：该厂应如何支配生产，使利润收入为最大？配料问题配料问题10线性规划应用举例线性规划应用举例解：解：设设xij表示第表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：对于乙：x21，x22，x23；对于丙：对于丙：x31，x32，x33；对于原料对于原料1：x11，x21，x31；对于原料对于原料2：x12，x22，x32；对于原料对于原料3：x13，x23，x33；如何建立线性规划模型如何建立线性规划模型?请先自己完

6、成请先自己完成11目标函数：目标函数：利润最大，利润利润最大，利润 =收入收入 -原料支出原料支出 约束条件：约束条件：规格要求规格要求 4 4 个；供应量限制个；供应量限制 3 3 个。个。Maxz=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x130（甲中原材料（甲中原材料1不少于不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x130（甲中原材料（甲中原材料2不超过不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x230（乙中原材料（乙中原材料1不少于不少于25%）-0.5x21+0.

7、5x22-0.5x230（乙中原材料（乙中原材料2不超过不超过50%）x11+x21+x31100(原料原料1，供应量限制），供应量限制）x12+x22+x32100(原料原料2，供应量限制），供应量限制）x13+x23+x3360(原料原料3，供应量限制），供应量限制）xij0,i=1,2,3;j=1,2,3线性规划应用举例线性规划应用举例12线性规划模型的特点：线性规划模型的特点：用用一一组组未未知知变变量量表表示示要要求求的的方方案案，这这组组未知变量称为决策变量；未知变量称为决策变量；存在确定的限制条件，且为线性表达式；存在确定的限制条件，且为线性表达式；有有一一个个目目标标要要求求（

8、最最大大化化，当当然然也也可可以以是是最最小小化化），目目标标表表示示为为未未知知变变量量的的线线性表达式，称之为目标函数；性表达式，称之为目标函数；决策变量是连续变更量。决策变量是连续变更量。13练习练习下面哪些数学关系可以包含在线性规划模型之中，哪下面哪些数学关系可以包含在线性规划模型之中，哪下面哪些数学关系可以包含在线性规划模型之中，哪下面哪些数学关系可以包含在线性规划模型之中，哪些不能？请说明理由。些不能？请说明理由。些不能？请说明理由。些不能？请说明理由。141.1 线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型线性规划模型线性规划模型 Max (Min)z=c1 x1+c2 x2

9、+cn xns.ta11 x1+a12x2+a1n xn (=,)b1a21 x1+a22x2+a2n xn (=,)b2 am1 x1+am2 x2+amn xn (=,)bmx1，x2，xn 0隐含的假设隐含的假设比例性：决策变量变更引起目标的变更量与决策变量变比例性：决策变量变更引起目标的变更量与决策变量变更量成更量成 正比正比可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量变量连续性：每个决策变量取连续值连续性：每个决策变量取连续值确定性：线性规划中的参数确定性：线性规划中的参数aij,bi,cjaij,bi,cj为确定值为确定值15

10、线性规划问题的应用举例线性规划问题的应用举例x xy y(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi16线性规划问题的应用举例线性规划问题的应用举例(回来分析回来分析)还可以加上一些特定的需求还可以加上一些特定的需求.例如例如,要求必需过某要求必需过某一点一点.新标准新标准:最小化确定误差之和最小化确定误差之和.17线性规划问题的应用举例线性规划问题的应用举例(回来分析回来分析)新标准新标准:最小化最大确定误差最小化最大确定误差.18线性规划问题的应用举例线性规划问题的应用举例18 例在每周的不同工作日，一个邮局须要不同数量的专职员工。下表给出了每天须要的专职员工的

11、数量。工会的章程规定，每个专职员工每周必需连续工作5天，然后休息2天。这个邮局希望通过只用专职员工来满足它每天的须要。表述一个LP，使得这个邮局可以利用它使必需聘用的专职员工的数量最少。19线性规划问题的应用举例线性规划问题的应用举例 解：设 x1表示星期1起先工作,工作到星期5的人数 x2表示星期2起先工作,工作到星期6的人数 类似定义x3,x4,x5x6 x7 20Minimizez=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7subjecttox1+x4+x5+x6+x7 17x1+x2+x5+x6+x7 13x1+x2+x3+x6+x7 15x1+x2+x3+x4+x7 19x1+x2+x

12、3+x4+x5 14x2+x3+x4+x5+x6 16x3+x4+x5+x6+x7 11xj 0forj=1to721是不是可以将决策变量设为第是不是可以将决策变量设为第j j天起先休天起先休息的工人数息的工人数?第第j j天工作的工人数至少是天工作的工人数至少是 dj.dj.每一个工人休息每一个工人休息2 2天后工作天后工作5 5天天.结论结论:有些时候决策变量隐含了约束条件有些时候决策变量隐含了约束条件.做好很难做好很难,但一旦定义好了模型很简洁但一旦定义好了模型很简洁.我们会在整数规划中看到更多的例子我们会在整数规划中看到更多的例子.关于决策变量的选择的启示关于决策变量的选择的启示22关

13、于模型的一些变形关于模型的一些变形假定每天起先工作的工资不同假定每天起先工作的工资不同.第第j j天起先工作天起先工作的工人的工资是每单人的工人的工资是每单人cj cj 元元.Minimizez=c1x1+c2x2+c3x3+c7x723关于模型的一些变形关于模型的一些变形假定每天可以雇佣零时工假定每天可以雇佣零时工,第第j j天雇佣的零时工天雇佣的零时工的工资是每单人的工资是每单人PTPTj j 元元.设设 y yj j=第第j j天雇佣的零时工的人数天雇佣的零时工的人数24修改后的线性规划?subjecttox1+x4+x5+x6+x7 17x1+x2+x5+x6+x7 13x1+x2+x

14、3+x6+x7 15x1+x2+x3+x4+x7 19x1+x2+x3+x4+x5 14x2+x3+x4+x5+x6 16x3+x4+x5+x6+x7 11xj 0forj=1to7z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7Minimize关于模型的一些变形（原始模型）关于模型的一些变形（原始模型）25Minimizez=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6+c7x7subjecttox1+x4+x5+x6+x7+y1 17x1+x2+x5+x6+x7+y2 13x1+x2+x3+x6+x7+y3 15x1+x2+x3+x4+x7+y4 19x1+x2+x3+x4+x5

15、+y5 14x2+x3+x4+x5+x6+y6 16x3+x4+x5+x6+x7+y7 11xj 0,yj 0forj=1to7+PT1y1+PT2y2+PT7y726假定第假定第j天的需求工人数量是天的需求工人数量是dj.设设yj表示表示第第j天实际的工人数量天实际的工人数量.设第设第j天的费用定天的费用定义为第义为第j天超过需求的人数的某个函数天超过需求的人数的某个函数,记记为为fj(yjdj),什么是最小费用的人员支配什么是最小费用的人员支配?NOTE:这里的变形是一个非线性规划问这里的变形是一个非线性规划问题题,不是线性规划问题不是线性规划问题.我们可以设我们可以设sj=yjdj为第为

16、第j天超出的人天超出的人数数.关于模型的一些变形关于模型的一些变形27原始的模型subjecttox1+x4+x5+x6+x7 17x1+x2+x5+x6+x7 13x1+x2+x3+x6+x7 15x1+x2+x3+x4+x7 19x1+x2+x3+x4+x5 14x2+x3+x4+x5+x6 16x3+x4+x5+x6+x7 11xj 0forj=1to7z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7Minimize28Minimizez=f1(s1)+f2(s2)+f3(s3)+f4(s4)+f5(s5)+f6(s6)+f7(s7)subjecttox1+x4+x5+x6+x7-s1=17

17、x1+x2+x5+x6+x7-s2=13x1+x2+x3+x6+x7-s3=15x1+x2+x3+x4+x7-s4=19x1+x2+x3+x4+x5-s5=14x2+x3+x4+x5+x6-s6=16x3+x4+x5+x6+x7-s7=11xj 0,sj 0forj=1to729假设我们要求至少假设我们要求至少30%30%的工人能在星期天休息的工人能在星期天休息?(x1+x2)/(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7).3关于模型的一些变形关于模型的一些变形:一个比率约束一个比率约束30须要产生工人个数为整数值须要产生工人个数为整数值整数规划问题整数规划问题考虑长期排班的问题考虑长期排班的

18、问题一次对一次对6 6个星期进行建模个星期进行建模考虑短期排班的问题考虑短期排班的问题对午休换班进行建模对午休换班进行建模考虑每个工人考虑每个工人允许工人有不同的偏好允许工人有不同的偏好关于模型的其他变形关于模型的其他变形3131 例某工厂要做例某工厂要做100100套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢的圆钢各一根。已知原料每根长各一根。已知原料每根长7.4 m7.4 m，问：应如何下料，可使所，问：应如何下料，可使所用原料最省？用原料最省？设设 x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5 分别

19、为上面分别为上面 5 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。的数学模型。目标函数：目标函数：Min Min x x1 1+x x2 2+x x3 3+x x4 4+x x5 5 约束条件：约束条件：s.t.s.t.x x1 1+2+2x x2 2 +x x4 4 100 100 2 2x x3 3 +2+2x x4 4+x x5 5 100 100 3 3x x1 1+x x2 2+2+2x x3 3 +3 +3x x5 5 100 100 x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5 0 0套裁下料问题套裁下料

20、问题注1:教材这里有不同.注2:怎么产生这里的下料方案?你有什么妙招?注3:假如下料方案很多怎么办?32套裁下料问题套裁下料问题某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项项目目A A，从从第第一一年年到到第第四四年年每每年年年年初初须须要要投投资资，并并于次年末回收本利于次年末回收本利115%115%；项项目目B B，第第三三年年初初须须要要投投资资，到到第第五五年年末末能能回回收收本本利利125%125%，但规定最大投资额不超过，但规定最大投资额不超过4 4万元；万元；项项目目C C，其其次次年年初初须须要要投投资资，到到第第五五年年末末能能回

21、回收收本本利利140%140%，但规定最大投资额不超过，但规定最大投资额不超过3 3万元；万元；项项目目D D，五五年年内内每每年年初初可可购购买买公公债债，于于当当年年末末归归还还，并加利息并加利息6%6%。该该部部门门现现有有资资金金1010万万元元，问问它它应应如如何何确确定定给给这这些些项项目目每每年年的的投投资资额额，使使到到第第五五年年末末拥拥有有的的资资金金的的本本利总额为最大利总额为最大?33连续投资问题连续投资问题34以xiA,xiB,xiC,xiD(i=1,2,，5)分别表示第i年年初给项目A，B，C，D的投资额，它们都是待定的未知变量。投资额应等于手中拥有的资金额投资额应

22、等于手中拥有的资金额35注记注记1.1.为什么第一个约束取等号为什么第一个约束取等号?注记注记2.2.假如对投资项目假如对投资项目B B要求，每次投要求，每次投资必需为资必需为10001000美元的整数倍，应如何建美元的整数倍，应如何建模？模？3637线性规划应用结束38生产支配问题的另一种建模方法生产支配问题的另一种建模方法:设设s1s1，s2 s2，s3 s3表示各资源的运用剩余量表示各资源的运用剩余量,则建立的模型为则建立的模型为 目标函数：目标函数：Max z=2 x1+3 x2Max z=2 x1+3 x2 约束条件：约束条件：s.t.s1 =8-x1-2x2 s.t.s1 =8-x

23、1-2x2 s2 =16-4 x1 s2 =16-4 x1 s3 =12-4x2 s3 =12-4x2 x1 ,x2 ,s1 x1 ,x2 ,s1,s2 ,s3 0,s2 ,s3 0 s1 s1，s2 s2 ，s3s3称为松驰变量（含义是资源的闲散量）称为松驰变量（含义是资源的闲散量）我们所建立的两个模型间有什么关系？我们所建立的两个模型间有什么关系？两个问题等价两个问题等价.1.1 线性规划问题及数学模型线性规划问题及数学模型39假如约束条件是大于等于，则如何假如约束条件是大于等于，则如何化成等式？化成等式？问题讨论问题讨论40LP的标准型的标准型：LP标准型的特点标准型的特点 目标函数约定

24、是极大化目标函数约定是极大化Max;Max;约束条件均用等式表示约束条件均用等式表示;决策变量限于取非负值决策变量限于取非负值;右端常数均为非负值右端常数均为非负值 ;41LP标准型标准型422、LP问题的标准化问题的标准化（1）目标函数的标准化）目标函数的标准化MinZ=CTXMaxZ=-CTXZ=-Z43（2）约束条件的标准化约束条件的标准化&约束条件是约束条件是类型类型左边左边加加非负非负松弛变量松弛变量&约束条件是约束条件是类型类型左边左边减减非负非负剩余变量剩余变量&变量符号不限变量符号不限引入引入新变量新变量留意留意:在目标函数和约束条件中将全部的在目标函数和约束条件中将全部的xk

25、用用xk1,xk2代替代替.44将下面的线性规划问题化为标准型：将下面的线性规划问题化为标准型：探讨：探讨：如何下手？标准化过程排序如何下手？标准化过程排序-课堂练习课堂练习45x3；约约束束1引引松松弛弛变变量量；约约束束2引引剩剩余余变变量量；约束约束3变号；变号；目标函数标准化，引入变换目标函数标准化，引入变换Z=-Z；整理；整理；令令4647练习习题483LP的数学描述的数学描述(数学模型数学模型)：（1）一般形式）一般形式 493LP的数学描述的数学描述(数学模型数学模型)：（1）标准形式）标准形式 50（2）紧缩形式）紧缩形式51（3）矩阵形式）矩阵形式其中其中:52（4）向量）向

26、量矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：53练习以生产支配问题为例，写出线性规以生产支配问题为例，写出线性规划的划的4种模型种模型例例1.目标函数：Max z=50 x1+100 x2 约束条件：s.t.x1+x2 300 (A)2 x1+x2 400 (B)x2 250 (C)x1 0 (D)x2 0 (E)得到最优解：x1=50，x2 =250 最优目标值 z =275002图图解解法法 对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。下面通过教材例1具体讲解其方法：2图图解解法法 (1)分别取决策变量X1,X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角

27、坐标系里，图上随意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。x2x1X20X2=0 x2x1X10X1=02图图解解法法（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所确定的半平面。100200300100200300 x1+x2300 x1+x2=3001001002002x1+x24002x1+x2=4003002003004002图图解解法法（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分，如图2-1所示。100100 x2250 x2=250200300200300 x1x2x2=0 x1=0 x2=250 x1+x2=3002

28、x1+x2=400图2-12图图解解法法（4）目标函数z=50 x1+100 x2，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。x1x2z=20000=50 x1+100 x2图2-2z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+100 x2z=10000=50 x1+100 x2CBADE练习练习2图图解解法法重要结论：假如线性规划有最优解，则确定有一个可行域的顶点对应一个最优解；无穷多个最优解。若将

29、例1中的目标函数变为max z=50 x1+50 x2，则线段BC上的全部点都代表了最优解；无界解。即可行域的范围延长到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽视了一些必要的约束条件；无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x21200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。定义：假如集合定义：假如集合C中随意两点中随意两点x1,x2连线上的全部点也都是集合连线上的全部点也都是集合C中的点，则称集合中的点，则称集合C为凸集为凸集或用解析表达式表示为或用解析表达式表示为对随意对随意x1,x2C，有，有x1+(1)x2C,(01

30、),则称集合则称集合C为凸集为凸集定义：对随意定义：对随意x1,x2C，不存在，不存在x=x1+(1-)x2C,(01),则称则称x是集合是集合C的顶点或极点。的顶点或极点。可行域是可行域是(有界或无界有界或无界)的凸集合的凸集合线性规划基本定理线性规划基本定理定理定理.若线性规划问题存在可行解若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域则问题的可行域是凸集是凸集.定理定理.若可行域有界若可行域有界,线性规划问题的目标函数确定线性规划问题的目标函数确定可以在其可行域的顶点上达到最优。可以在其可行域的顶点上达到最优。定理定理:对于可行域是凸集对于可行域是凸集,目标函数是凸函数的问题目标函数是凸函数的

31、问题(称为凸优化问题称为凸优化问题),局部最优解确定是全局最优解局部最优解确定是全局最优解.63各种求解结果与各种类型的可行域之间的各种求解结果与各种类型的可行域之间的对应关系对应关系64a,b,cd,e 4、用图解法求解线性规划时需特殊留意：第第一一、线线性性规规划划的的可可行行域域确确定定是是凸凸多多边边形形或或凸凸多多面面体体，所所以以下下图图中中所所示示阴阴影影区区不不行行能能是是某某个个线线性性规规划划的的可可行行域域，而而所示阴影区则有可能。所示阴影区则有可能。65其次、目标函数其次、目标函数 Z=ax1+bx2的值递增的方的值递增的方向与系数向与系数a、b有关有关 下图表示目标函

32、数值递增方向与其系数下图表示目标函数值递增方向与其系数a、b的关系，其中箭头所指为目标函数值的关系，其中箭头所指为目标函数值递增的方向。递增的方向。3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，探讨线性规灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，探讨线性规划的一个或多个参数（系数）划的一个或多个参数（系数）ci,aij,bj变更时，对最优解产变更时，对最优解产生的影响。生的影响。3.1目标函数中的系数目标函数中的系数ci的灵敏度分析的灵敏度分析考虑例考虑例1的状况，的状况，ci的变更只影响目标函数等值线的斜率，的变更只影响目标函数等值线的斜率，目标函数目标函数z=

33、50 x1+100 x2在在z=x2(x2=z斜率为斜率为0)到到z=x1+x2(x2=-x1+z斜斜率为率为-1)之间时，原最优解之间时，原最优解x1=50，x2=100仍是最优解。仍是最优解。一般状况：一般状况：z=c1x1+c2x2写成斜截式写成斜截式x2=-(c1/c2)x1+z/c2目标函数等值线的斜率为目标函数等值线的斜率为-(c1/c2)，当当-1-(c1/c2)0（*）时，原最优解仍是最优解。时，原最优解仍是最优解。3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析假设产品的利润100元不变，即 c2=100，代到式（*）并整理得 0 c1 100 假设产品的利润 50 元不变，即 c1=

34、50，代到式（*）并整理得 50 c2 +假如产品、的利润均变更，则可干脆用式（*）来推断。假设产品、的利润分别为60元、55元，则 -2 -(60/55)-1 那么，最优解为 z=x1+x2 和 z=2 x1+x2 的交点 x1=100，x2=200。练习练习习题63图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 3.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析 当约束条件中右边系数 bj 变更时，线性规划的可行域发生变更，可能引起最优解的变更。考虑例1的状况：假设设备台时增加10个台时，即 b1变更为310，这时可行域扩大，最优解为 x2=250 和 x1+x2=310 的交点 x1=60，x2=25

35、0。变更后的总利润-变更前的总利润=增加的利润 (5060+100250)-(50 50+100 250)=500，500/10=50 元 说明在确定范围内每增加（削减）1个台时的设备实力就可增加（削减）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变更为410，这时可行域扩大，但最优解仍为 x2=250 和 x1+x2=300 的交点 x1=50，x2=250。此变更对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。说明：原最优解没有把原料 A 用完，有50千克的剩余，因此增加10千克值增加了库存，而不会增加利润。在确定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；（2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；（3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。