齐次线性方程组解的性质.ppt

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1、解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质

2、可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为现对现对 取下列取下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的

3、 个解：个解：下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基由于由于 个个 维向量维向量线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 定理定理1 1例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩

4、阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为例例3 3证证证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明证毕证毕其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解

5、解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（

6、数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组解解解解例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组求基础解系求基础解系 令令依次得依次得求特解求特解所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系另一种解法另一种解法则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对

7、系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR=()()nBRAR=线性方程组解的情况线性方程组解的情况思考题思考题解答则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组

8、解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵

9、为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为现对现对 取下列取下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基由于由于 个个 维向量维向量线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础

10、解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 定理定理1 1例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为例例3 3证证证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的

11、性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明证毕证毕其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易

12、出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组解解解解例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组求基础解系求基础解系 令令依次得依次得求特解求特解所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系另一种解法另一种解法则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR=()()nBRAR=线性方程组解的情况线性方程组解的情况思考题思考题解答