D61微分方程及其求解.ppt

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1、高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 一、一、二、二、高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法给出特解给出特解(p,q为

2、常数为常数)高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解的叠加原理解的叠加原理高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期一、一、为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得 为为 m 次多项式次多项式.高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期(2)若若 是特征方程的单根是特征方程的单根,(3)若若 是特征方程的重根是特征方程的重根,即即即即(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,可设可设可设可设可设可设高等数学高等数学

3、土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程(k是重根次数是重根次数).综上讨论综上讨论 不是根不是根 是单根是单根 是重根是重根特解形式设为特解形式设为高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期例例1.的一个特解的一个特解.解解:本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程:比较系数比较系数,得得于是所求于是所求特解为特解为高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第

4、二学期学年第二学期例例2.的通解的通解.解解:本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应对应齐次方程的通解齐次方程的通解为为设设非齐次方程特解非齐次方程特解为为代入方程得代入方程得高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期例例2.的通解的通解.解解:比较系数比较系数,得得因此因此特解为特解为所求所求通解为通解为代入方程得代入方程得高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期令令的特解的特解 y*(一般为复根一般为复根)求求可以证明可以证明与与分别是下列方程的解分别是下列方程的解设设高等数学高等数学 土木土木103、

5、104 20102011学年第二学期学年第二学期综上讨论综上讨论(i)不是根不是根特解形式设为特解形式设为(i)是根是根高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例3的一个特解的一个特解.有共轭复根有共轭复根特征方程特征方程本题本题 不是特征根不是特征根 的特解的特解 令特解令特解 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例3的一个特解的一个特解.将特解将特解代入原方程得代入原方程得高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期例例3的一个特解的一个特解.于是求得一

6、个于是求得一个特解特解原方程得一个原方程得一个特解特解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例4的通解的通解.对应齐次方程对应齐次方程 特征方程为特征方程为 特征根特征根:对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例4的通解的通解.齐次通解：齐次通解：特征方程特征方程是特征方程的根是特征方程的根本题本题 故设特解为故设特解为考虑方程考虑方程高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例4的通解的通解.代入方程整理得代

7、入方程整理得于是求得一个于是求得一个特解特解原方程通解为原方程通解为高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤四个标准类型四个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,*全微分方程全微分方程 小结小结高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期1.可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解二、高阶微分方程求解逐次积分逐次

8、积分 解法解法:高阶高阶 yf(x)型的微分方型的微分方程程高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期 yf(x y)型的微分方程型的微分方程 解法解法:令令化为化为 x,p 的一阶微分方程的一阶微分方程.则则 yf(y y)型的微分方程型的微分方程 解法解法:令令化为化为 y,p 的一阶微分方程的一阶微分方程.则则高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期二阶线性微分方程的通解的结构二阶线性微分方程的通解的结构 齐次方程的通解的结构齐次方程的通解的结构 如果函数如果函数 y1(x)与与 y2(x)是方程是方程 y

9、+P(x)y+Q(x)y=0 的两个线性无关的解的两个线性无关的解 那么那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解是方程的通解 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期2.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数和它的导数只差常数代入代入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,(r 为待定常数为待定常数)所以令所以令的解为的解为 其根称为其根称为特征根特征根.因为因为r为常数时为常数时,函数函数(p,q为常数为常数)高等数学高等数学 土木土木103、104 201

10、02011学年第二学期学年第二学期实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程方法步骤方法步骤写出特征方程写出特征方程求出特征根求出特征根按特征根的三种不同情况依下表写出通解按特征根的三种不同情况依下表写出通解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期3.二阶线性微分方程的通解的结构二阶线性微分方程的通解的结构 设设 y*(x)是方程是方程 yP(x)y Q(x)y f(x)的一个特解的一个特解 Y(x)是方程是方程 yP(x)y Q(x)y 0 的通解的通解 那么那么 y Y(x)y*

11、(x)是方程是方程 yP(x)y Q(x)y f(x)的通解的通解 非齐次方程的通解的结构非齐次方程的通解的结构高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期 微微分分方方程程 ypy qy Pm(x)e x 的的待定特解待定特解 不是根不是根 是单根是单根 是重根是重根特解形式设为特解形式设为高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期(i)不是根不是根特解形式设为特解形式设为(i)是根是根 微微分分方方程程 ypy qy exPm(x)cosx 或或 ypy qy exPm(x)sinx 的待定特解的待定特解整合为整

12、合为高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期则则是是特解形式设为特解形式设为整合为整合为的解的解是是的解的解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期思考题思考题1.微分方程微分方程(0)的特解形式为的特解形式为 2.微分方程微分方程满足条件满足条件y(0)=0的解的解 2011年考研题年考研题 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为思考题思考题3.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形

13、式.解解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期则所求特解为则所求特解为练习题练习题3.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.解解特征根特征根（重根）（重根）高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期4.设设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1)求求F(x)所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(03考研考研)(2)求出求出F(x)的表达式的表达式.高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解:(1)所以所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期(2)由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 将将 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期作业作业 P261 5(2)