D71线性常微分方程.ppt

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1、第一节第一节第一节第一节 高阶线性微分方高阶线性微分方高阶线性微分方高阶线性微分方程程程程二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构 三、高阶常系数线性齐次方程解的结构三、高阶常系数线性齐次方程解的结构 一、高阶线性微分方程举例一、高阶线性微分方程举例 四、高阶常系数线性非齐次方程解的结构四、高阶常系数线性非齐次方程解的结构作业作业 习题习题7.1(A)7.1(A)1,2,3,4 1,2,3,4一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体

2、使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克hooke定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.222据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:二阶线性微分方程求电容器两两极板间电压 例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.提示提示:设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t),电感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R,电感L,电容 C 和电源 E

3、 串极板在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0422串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得化为关于的方程:故有 定义1：n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 为二阶线性微分方程.例例1例例2 可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y622二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构1.解的存在唯一性定理：解的存在唯一性定理：P2232.线性微分算子：线性微分算子：b)线性微分方程为：线性微分方程为：a)线性微分算子的线性性质：线性微分算子的线性性质：证毕是二阶线性齐次方程的两个解

4、,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(解的叠合性)定理定理1.822说明说明:叠合性可以推广到高阶线性微分方程（定理7.1.1）不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.定义定义2:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不

5、全为 0 的常数1022不全为不全为0 0，则线性相关。，则线性相关。线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性 相关相关线性无关存在不全为 0 的使1221解的线性无关判别法:p225:p225定理定理2.1322是 n 阶齐次方程 的 n 个定义在区间I的解,则它们在I线性无关的充要条件是，在I中存在一点t，使得这n个解及其各阶导数在t处所构成的行列式称w(t)为解组在t处的Wronski行列式。(证明见课本）定理定理 3.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论推论.(P227)是

6、 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 4.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得1522是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.定理定理5.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理4、5 可以推广到 n 阶线性非齐次方程.1722定理定理 6.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解

7、为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)1922例例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 例例5.的通解为 的通解.解解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组:积分得故所求通解为2122例例6.的通解.解解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设的特解为于是得的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得: