《多元函数微分》PPT课件.ppt

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1、 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学8.1 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续8.2 8.2 偏导数偏导数 8.3 8.3 全微分全微分8.4 8.4 多元复合函数微分法多元复合函数微分法 8.5 8.5 隐函数的微分法隐函数的微分法8.6 8.6 多元函数微分法在几何上的应用多元函数微分法在几何上的应用8.7 8.7 方向导数和梯度方向导数和梯度 8.8 8.8 多元函数的极值多元函数的极值 8.9 8.9*二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 8.10 8.10*最小二乘法最小二乘法 8.1 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续8.1.1 8.1.1 平面

2、点集的知识平面点集的知识有序实数对集有序实数对集：1-1“有序实数对有序实数对”与与“平面上的点平面上的点”不加区别不加区别.例如：例如：二维空间：二维空间：1.邻域邻域定义定义邻域邻域 .空（去）心邻域空（去）心邻域:2.内点：内点：4.界点：界点：3.外点：外点：边界边界内点内点5.聚点聚点:(a)内点一定是聚点；内点一定是聚点；注：注：注：注：例例:(b)点集点集 的聚点可以属于的聚点可以属于 ，也可以不属于，也可以不属于 6.开集：开集：如：如：是开集是开集 7.闭集：闭集：例如：例如：是闭集是闭集；不是开集，也不是闭集不是开集，也不是闭集；而而 既是开集，又是闭集既是开集，又是闭集；

3、约定约定：空集：空集 既是开集，又是闭集既是开集，又是闭集.8.开区域：开区域：例如例如:是开区域；是开区域；9.闭区域：闭区域：是闭区域；是闭区域；连通连通的开集称为的开集称为开区域开区域 .而而 既是开区域，又是闭区域既是开区域，又是闭区域.若不需要指明区域的开闭性或区域若不需要指明区域的开闭性或区域的开闭性比较明显，就简称为的开闭性比较明显，就简称为区域区域.是有界闭区域；是有界闭区域；是无界开区域是无界开区域例如，例如，10.有界点集：有界点集：无界点集：无界点集：非有界点集非有界点集.11.区域的直径：区域的直径：设设邻域：邻域：中中 内点、边界点、区域、聚点内点、边界点、区域、聚点

4、等概念可类似定义等概念可类似定义 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 8.1.2 多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义定义 注注由于此处定义的多元函数的值是实数，由于此处定义的多元函数的值是实数，定定义中的函数也称为义中的函数也称为数量值函数数量值函数 （以以后后还还要要讨讨论向量值函数）论向量值函数）.例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为:解解所求定义域为：所求定义域为：二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）称为二元函数称为二元函数 的图形的图形.二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张

5、曲面.例例3.球面球面可确定两个二元函数可确定两个二元函数222yxaz-=二元函数二元函数:对于三元对于三元(及其以上及其以上)函数函数没有明显的几何意义没有明显的几何意义.8.1.3 多元函数的极限定义定义 二重极限二重极限注注定理定理例例1 1 证明证明 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，此时，不能断定极限存在此时，不能断定极限存在！证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 若取若取,kxy=取取此时，不能断定极限存在此时，不能断定极限存在！故故 不存在不存在其中其中例例5 求下列极限：求下列极限：8.1.4 多元函数的连续性定义定义例例1

6、 1 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为函数称为多元初等函数多元初等函数闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在 D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在 D D上取得介于这上取得介于这两值之间的任何值至少一次两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理解解多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小 结多元函数的定义多元函数的定义多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取