《多重积分习题》PPT课件.ppt

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1、定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二二重重积积分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三三重重积积分分一、主要内容一、主要内容1 1、二重积分的定义、二重积分的定义、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积的面积性质性质若在若在D上，上，特殊地

2、特殊地性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型（）极坐标系下（）极坐标系下5 5、三重积分的定义、三重积分的定义6、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义7 7、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性

3、质8 8、三重积分的计算、三重积分的计算()直角坐标直角坐标()柱面坐标柱面坐标9 9、重积分的应用、重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面面积曲面面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心重心当物体是均匀的，重心称为形心当物体是均匀的，重心称为形心.薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量(4)转动惯量转动惯量薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数(5)引力引力二、典型例题二、典型例题例例1 1解解X-型型例例2 2解解 先去掉绝

4、对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图例例3 3解解例例4 4解解例例5 5 证证例例6.计算三重积分计算三重积分其中其中 是是两个两个 的公共部分的公共部分.及及提示提示:由于被积函数缺由于被积函数缺 x,y,原式原式=利用利用“先二后一先二后一”计算方便计算方便.球球 例例7.计算三重积分计算三重积分,其中其中 是由是由 xoy 平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域。所围成的闭区域。提示提示：利用柱坐标：利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面例例8.计算二重积分计算二重积分其中其中(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1)利用对称性利用对称性围成围成.(2)积分域如图积分域如图将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线例例8.计算二重积分计算二重积分(2)D由直线由直线 围成围成.其中其中利用对称性利用对称性,有有测测 验验 题题测验题答案测验题答案