《D76高阶微分方程》PPT课件.ppt

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1、可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节第六节一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 一、一、令令因此因此即即同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分,可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求微分方程求微分方程 的通解的通解.解：解：对所给方程两端依次积分三次，可得对所给方程两端依次积分三次，可得 其中其中C1,C2,C3为任意常数为任意常数.求微分方程求微分方程 满足下列初值条件的解满足下列初值条件的解.解

2、：解：将所给方程积分一次，可得将所给方程积分一次，可得 其中其中C1为任意常数为任意常数.由由 得得C1=0,从而从而再积分一次，得再积分一次，得 其中其中C2为任意常数为任意常数.由由 得得C2=0,于是所求特解为于是所求特解为例例.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程型的微分方程 设设原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为则得则得再一次积分再一次积分,得原方程的通解得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 求方程求方程 满足下列初值条件的解满足下列初值条件的解.解：解：令令 带入所给方程得带入所给方程得用分离变量法解得用分离变量法解得其中

3、其中C1为任意常数为任意常数.由由 得得C1=3,从而从而其中其中C2为任意常数为任意常数.由由 得得C2=1,故所求特解为故所求特解为 鱼雷攻击问题鱼雷攻击问题.某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰的正西方向我方战舰位于敌舰的正西方向1海里处，我舰发现敌舰海里处，我舰发现敌舰后立刻发射鱼雷后立刻发射鱼雷.敌舰以常速度敌舰以常速度v逃逸，鱼雷始终指向敌逃逸，鱼雷始终指向敌舰，追击速度为敌舰速度的舰，追击速度为敌舰速度的2倍倍.问敌舰逃出多远时将被问敌舰逃出多远时将被击毁？击毁？解：解：以我舰的初始位置为坐标原点以我舰的初始位置为坐标原点(0,0)

4、,敌舰的初始位敌舰的初始位置置 为点为点A(1,0)，建立直角坐标系，如图，建立直角坐标系，如图,设鱼雷的轨迹方程为设鱼雷的轨迹方程为y=y(x)，则其满足，则其满足初始条件初始条件 在时刻在时刻t鱼雷的位置是鱼雷的位置是P(x,y)，敌舰的位，敌舰的位置是置是Q(1,vt).依题意，点依题意，点Q应位于轨迹应位于轨迹y(x)过点过点P的切线上的切线上.该切线的方程为该切线的方程为 而鱼雷在而鱼雷在t时刻已走过的距离为时刻已走过的距离为 上述两个方程联立消去上述两个方程联立消去vt得得 两端关于两端关于x求导得求导得 这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程.此方程不显

5、含此方程不显含y,令令 代入上述方程得代入上述方程得分离变量后积分并利用初始条件分离变量后积分并利用初始条件 有有 上述两式相减并将上述两式相减并将p=y代入，得到代入，得到 两端积分，并利用初始条件两端积分，并利用初始条件 有有 这就是鱼雷追击敌舰的运动轨迹方程这就是鱼雷追击敌舰的运动轨迹方程.因当鱼雷击中敌因当鱼雷击中敌舰时，其横坐标舰时，其横坐标x=1,代入上述方程得纵坐标代入上述方程得纵坐标y=2/3,即敌即敌舰逃至距离点舰逃至距离点A(1,0)正北正北2/3海里处时将被鱼雷击毁海里处时将被鱼雷击毁.例例.求解求解解解:代入方程得代入方程得分离变量分离变量积分得积分得利用利用于是有于是

6、有两端再积分得两端再积分得利用利用因此所求特解为因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于对于型方程型方程(n2)，可以，可以令令得得如果能求出其通解如果能求出其通解逐次积分逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解次，就可得到原方程的通解其中其中C1,C2.,Cn为任意常为任意常数数.三、三、型的微分方程型的微分方程 令令故方程化为故方程化为设其通解为设其通解为即得即得分离变量后积分分离变量后积分,得原方程的通解得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.5 求解求解代入方程得代入方程得两端积分得两端积分得(一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程)故所求通解为故所求通解为解解

7、:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6 绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解:取坐标系如图取坐标系如图.考察最低点考察最低点 A 到到(:密度密度,s:弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件,有有故有故有设有一均匀设有一均匀,柔软的绳索柔软的绳索,两端固定两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点任意点M(x,y)弧段的受力情况弧段的受力情况:A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 则得定解问题则得定解问题:原方程化为原方程化为两端积分得两端积分得则有则有两端积分得两端积分得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线机动 目录 上页 下页 返回 结束 求求 的通解的通解.解：解：此方程无法解出此方程无法解出 可引入参数可引入参数t，令，令则则其中其中C1,C2为任意常数为任意常数.两端再积分可得参数形式的解为两端再积分可得参数形式的解为例例.解初值问解初值问题题解解:令令代入方程得代入方程得积分得积分得利用初始条件利用初始条件,根据根据积分得积分得故所求特解为故所求特解为得得机动 目录 上页 下页 返回 结束(A)1(1),(4),(8);2(3);作业作业 第七节 目录 上页 下页 返回 结束