《数列与函数的极限》PPT课件.ppt

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1、v(一一)、数列的极限、数列的极限v(二二)、函数的极限、函数的极限第二节第二节 数列与函数的极限数列与函数的极限一、数列的定义例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数数列数列实质上实质上是定义在是定义在正整数集正整数集上的函数：上的函数：xn=f(n)，n Z+三、数列的极限三、数列的极限播放播放三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限

2、三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限2.数列极限的定义数列极限的定义故上例中有：故上例中有：例例1:观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势3、数列极限的性质定理定理1 若极限若极限 存在，则极限是唯一的存在，则极限是唯一的.1).极限的唯一性极限的唯一性(1)数列的数列的有界性有界性2).收敛数列的有界性收敛数列的有界性对数列对数列 ,若存在正数若存在正数 M,使得对一切自然使得对一切自然数数 n,恒有恒有 成立成立,则称则称数列数列 有界有界

3、,否则否则,称为称为无界无界.例如例如,有界有界无界无界数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 都落在闭区间都落在闭区间 上上.定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.注意：注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件有界性是数列收敛的必要非充分条件.例如：例如：定理定理33).极限的保号性极限的保号性4).4).子数列的归并性子数列的归并性(子数列的收敛性子数列的收敛性)在数列在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序项在原数列中的先后顺序,这样得到的数列记这样得到的数列记为为 ,称为数

4、列称为数列 的的子数列子数列.定理定理4 4 如果数列收敛，则它的任一个子数列如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同也收敛，且极限相同.5).数列极限四则运算法则与性质数列极限四则运算法则与性质例例1 求下列数列的极限：求下列数列的极限：自变量的变化过程自变量的变化过程:二、二、函数的极限函数的极限定义定义1:(一一)、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限二、二、函数的极限函数的极限定义定义2:定义定义3:1定义定义:(二二)、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限注意：注意：2、基本初等函数在其定义域内每点处的极限都存在，并且等于函数在该

5、点处的函数值。2.单侧极限单侧极限:例例1：左极限左极限右极限右极限因为左右极限存在但不相等因为左右极限存在但不相等,例例2证证3、函数极限的性质、函数极限的性质4、函数极限运算法则、函数极限运算法则定理定理5、举例、举例例例2 2例例3 3例例4例例1小结小结:一、无穷小量一、无穷小量例如例如:1 1、定义、定义三、无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:引理引理意义意义1)将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小

6、的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限二、无穷大量二、无穷大量1.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;注意：注意：三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例如例如一、填空题一、填空题:练练 习习 题题二、求下列各极限二、求下列各极限:练习题答案练习题答案