《含参变量常义积分》PPT课件.ppt

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1、11-2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分我们经常遇被积函数含参变量的定积分，如含参变量的定积分，如其中 与 是参变量参变量.显然，这种定积分的值依赖于参显然，这种定积分的值依赖于参变量，并且是参变量的函数变量，并且是参变量的函数.一般说来，我们无法将这种积分表示成参变量的初等函数这种积分表示成参变量的初等函数.然而我们却需要然而我们却需要知知道这种函数的性质：如是否连续？是否可导？如何求道这种函数的性质：如是否连续？是否可导？如何求它们的导数与积分？等等它们的导数与积分？等等.设设 在闭在闭 矩形域矩形域上连续。把上连续。把 固定，函数固定，函数 成为成为 的一元函数，的一元函数，若这个

2、函数在若这个函数在 上可积，则上可积，则是一个与是一个与 有关的数，它是有关的数，它是 的函数，其定义域的函数，其定义域为为 。称积分称积分为含参变量的正常积分，参变量是为含参变量的正常积分，参变量是 。类似地称类似地称为含参变量为含参变量 的积分的积分。是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性等定理。们研究这种函数的连续性，可微性与可积性等定理。定理定理 1 设设 在闭矩形域在闭矩形域 上连续，则上连续，则是是 上的连续函数上的连续函数。证明：证明：要证要证是是 上的连续函数上的连续函数。定理定理 1 设设 在

3、闭矩形域在闭矩形域 上连续，则上连续，则几何说明：它在平面上的投影为函数值说明 在 上连续。定理1说明：即也就是说在定理的条件下，极限运算和积分运算可以交换次序，或者说极限运算可以通过积分号。例例1 求解解被积函数在闭矩形域：上连续，所以当 时可在积分号下求极限，即 注意：注意：在积分号下求极限是有条件的，就是二元函数才可以作.下面的例子说明积分号下求极限并不成立：事实上，有对于任意固定的 我们有从而定理定理 2 设设 在矩形在矩形 上连续，则上连续，则例例2 求定积分解解 这里被积函数在 及 处无定义.但易求出因此，及 是被积函数的第一类间断点.经过补充定义后，被积函数在0,1上是连续的.所以，上述积分仍是正常积分.另外，由则 由于函数 在 上是连续函数.故由定理2知上述累次积分可交换次序，即有 定理定理 3 设 和 都在矩形 上连续，则即求导运算与积分运算可以交换次序，或者说微分运算 可以通过积分号.证明证明要证由拉格朗日中值定理，有于是因为定理证毕.例例3 求定积分解解均在闭矩形域 连续.由定理3,有代入上式，得由于 为 中任意选定的一点，以上说明则在 可导，并且定理定理 4 设 和 都在矩形 上连续，含参变量的积分证证引入函数则复合的复合函数.并且有将这些等式代入链规则公式：例例 4 设解解