《复变函数论》PPT课件.ppt

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1、第二章第二章 解析函数解析函数 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 初等解析函数 3 初等多值解析函数10/30/20221一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程在定义中应注意在定义中应注意:10/30/20222由于求导数本质上是求极限的过程,由此,可以用求极限的方法来求导数:10/30/20223例例 解解10/30/20224练习练习:解解10/30/20225练习练习 解解10/30/20226练习练习:解解10/30/202272.可导与连续可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0 处可导处可导,则在则在 z0 处处一定连续一定连续,但

2、函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可处可导导.3.求导法则求导法则:10/30/20228二、解析函数的概念二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该点处解不一定在该点处解析析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.根据定义可知根据定义可知:10/30/202292.奇点的定义

3、奇点的定义3.求导法则求导法则;(例例2.3-2.5)10/30/202210例例1解解例例2解解课后思考题：课后思考题：答案答案 处处不可导处处不可导,处处不解析处处不解析.10/30/20221110/30/202212定理定理以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.10/30/20221310/30/202214整理一下整理一下:10/30/202215但是这个极限不存在但是这个极限不存在,所以不可导所以不可导因此因此,定理是必要不充分的定理是必要不充分的10/30/20

4、2216定理定理2.2(在一点处可微的充要条件在一点处可微的充要条件)证明略证明略10/30/202217由于二元函数可微性的判断比较麻烦由于二元函数可微性的判断比较麻烦,因此有因此有例例解解10/30/202218根据解析和可导的关系根据解析和可导的关系,可以得到可以得到10/30/202219在一点处解析是该点周围处处可微在一点处解析是该点周围处处可微在区域内解析是区域内处处可微在区域内解析是区域内处处可微10/30/20222010/30/20222110/30/202222总结总结:解析函数的判定方法解析函数的判定方法:10/30/202223证明证明:再由再由C-R公式即得证公式即得证10/30/202224四、典型例题四、典型例题解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,例例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：判断下列函数在何处可导，在何处解析：四个偏导数均连续四个偏导数均连续,但是但是10/30/202225例例210/30/202226例例3证证:因为因为类似可进一步证明类似可进一步证明:10/30/202227