《多元函数基本概念》PPT课件.ppt

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1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题（1）邻域）邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们

2、称 n元数组元数组),(21nxxxL的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个 n元元数组数组),(21nxxxL称为称为n维空间中的一个点，维空间中的一个点，数数ix称为该点的第称为该点的第 i个坐标个坐标.n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为（4）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数二元函数的定义域二元函数的定义域例例1 1 求求 的定

3、义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为（）（）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,图型是球面图型是球面.单值分支单值分支:二、二元函数的极限二、二元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似注意注意：当：当P以不同的方式趋于以不同的方式趋于P0点时，函数值点时，函数值趋于不同的值，则可断定趋于不同的值，则

4、可断定P趋于趋于P0时极限不存时极限不存在。在。确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：例例2 2 求证求证 证证二元函数与一元函数求极限的方法类似。二元函数与一元函数求极限的方法类似。练习证明练习证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义3 3例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元

5、初等函数定义二元初等函数定义可以用一个式子表示的二元函数，这个式子可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算而成函数经过有限次的四则运算及复合运算而成的。的。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例8 8解解闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得

6、它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.因为，取因为，取练练 习习 题题练习题答案练习题答案