《D106高斯公式》PPT课件.ppt

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1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章 一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:设为XY型区域,则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以若 不是 XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 三式相加,即得所证

2、 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=(用柱坐标)及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解解:作辅助面取上侧介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.所围区域为,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用重心公式,注意机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设 为曲面取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面用柱坐标用

3、柱坐标用极坐标用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例例4.设函数其中 是整个 边界面的外侧.分析分析:高斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:令由高斯公式得移项即得所证公式.(见 P171)机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、通量与散度二、通量与散度引例引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系,流量还可表示为机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入

4、 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:设有向量场其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称曲面,

5、其单位法向量 n,为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场 故它是无源场.P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.通量与散度 思考与练习思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证证:设 的单位外法向量为 则的夹角,积为V,机动 目录 上页 下页 返回 结束