《D78常系数非齐次》PPT课件.ppt

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1、高阶高阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程 机动目录上页下页返回结束第第八八节节三三、二二阶常系数非常系数非齐次次线性微分方程性微分方程一、通解的通解的结构构二二、通解的求法通解的求法四四、欧拉方程欧拉方程五五、应用用举例例一一、通通解的解的结结构构 是二是二阶非非齐次方程次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相是相应齐次方程的通解次方程的通解,定理定理 8.1则是非是非齐次方程的通解次方程的通解.证:将将代入方程代入方程左端左端,得得复习目录上页下页返回结束是非是非齐次方程的解次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如,方程方程有特解有特解对应齐次方程次方程

2、有通解有通解因此因此该方程的通解方程的通解为证毕因而因而 也是通解也是通解.机动目录上页下页返回结束定理定理 8.2分分别是方程是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非非齐次方程之解的叠加原理次方程之解的叠加原理)定理定理,定理均可推广到定理均可推广到 n 阶线阶线性非性非齐齐次方程次方程.机动目录上页下页返回结束定理定理 是是对应齐次方程的次方程的 n 个个线性性无关特解无关特解,给定定 n 阶非非齐次次线性方程性方程是非是非齐次方程的特解次方程的特解,则非非齐次方程次方程的通解的通解为齐次方程通解次方程通解非非齐次方程特解次方程特解机动目录上页下页返回结束常数常数变易法易法常数常

3、数变易法易法:对应齐次方程的通解次方程的通解:设非非齐次方程的解次方程的解为 代入原方程确定代入原方程确定 对二二阶非非齐次方程次方程 情形情形1.已知已知对应齐次方程通解次方程通解:设的解的解为 由于有两个待定函数由于有两个待定函数,所以要建立两个方程所以要建立两个方程:机动目录上页下页返回结束二二、通通解的解的求法求法令令于是于是将以上将以上结果代入方程果代入方程:得得故故,的系数行列式的系数行列式是是对应齐次方程的解次方程的解P10目录上页下页返回结束积分得分得:代入代入 即得非即得非齐次方程的通解次方程的通解:于是得于是得 说明明:将将的解的解设为 只有一个必只有一个必须满足的条件即方

4、程足的条件即方程,因此必需再附加一因此必需再附加一 个条件个条件,方程方程的引入是的引入是为了了简化化计算算.机动目录上页下页返回结束情形情形2.仅知知的的齐次方程的一个非零特解次方程的一个非零特解 代入代入 化化简得得设其通解其通解为 积分得分得(一一阶线性方程性方程)由此得原方程由此得原方程的通解的通解:代入 目录上页下页返回结束 求非求非齐次次线性微分方程的性微分方程的 通解通解.解：解：对应齐次方程特征方程次方程特征方程为 特征根特征根为于是于是对应齐次方程的通解次方程的通解为设所所给方程的通解方程的通解为这是确定是确定C1(x),C2(x)的方程的方程组为设所所给方程的通解方程的通解

5、为三三、二二阶阶常系数常系数线线性非性非齐齐次微分方程次微分方程 根据解的根据解的结构定理构定理,其通解其通解为非非齐次方程特解次方程特解齐次方程通解次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比代入原方程比较两端表达式以确定待定系数两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机动目录上页下页返回结束一、一、为实数数,设特解特解为其中其中 为待定多待定多项式式,代入原方程代入原方程,得得(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,则取从而得到特解从而得到特解形式形式为为 m 次多次多项式式.Q(x)为 m 次待定系数多次待定系数

6、多项式式机动目录上页下页返回结束(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根根,为m 次多次多项式式,故特解形式故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,是是 m 次多次多项式式,故特解形式故特解形式为小小结 对方程方程,此此结论可推广到高可推广到高阶常系数常系数线性微分方程性微分方程.即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时,可可设特解特解机动目录上页下页返回结束 求方程求方程 的一个特解的一个特解.解：解：是二是二阶常系数非常系数非齐次微分方程次微分方程对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为由于由于=0不是特征根，故所不是特征根，故所给方程特解方程特解为设所所

7、给方程的一个特解方程的一个特解为将它将它带入入所所给方程得方程得 求方程求方程 的通解的通解.解：解：是二是二阶常系数非常系数非齐次微分方程次微分方程对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为由于由于=2是是单特征根，故所特征根，故所给方程特解方程特解为设所所给方程的一个特解方程的一个特解为将它将它带入入所所给方程得方程得对应齐次方程的通解次方程的通解为n阶常系数非常系数非齐次微分方程的一般形式次微分方程的一般形式为若若 则上述方程具有形如上述方程具有形如的特解，其中的特解，其中Qm(x)是与是与Rm(x)同次的多同次的多项式，而式，而k按按不是特征根和是不是特征根和是r重根分重根分别取取0和和

8、r.求方程求方程 的通解的通解.解：解：是四是四阶常系数非常系数非齐次微分方程次微分方程对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为由于由于=0是二重特征根，故所是二重特征根，故所给方程特解方程特解为所所给方程的一个特解方程的一个特解为将它将它带入入所所给方程得方程得对应齐次方程的通解次方程的通解为二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路:第一步第一步 将将 f(x)转化化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公

9、式将 f(x)变形形机动目录上页下页返回结束 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根(k =0,1),故故等式两等式两边取共取共轭:为方程方程 的特解的特解.设则 有有特解特解:机动目录上页下页返回结束第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的利用第二步的结果果,根据叠加原理根据叠加原理,原方程有特解原方程有特解:原方程原方程 均均为 m 次多次多项式式.机动目录上页下页返回结束第四步第四步 分析分析因因均均为 m 次次实多多项式式.本本质上上为实函数函数,机动目录上页下页返回结束 求方程 的通解.解：解：二阶常系数非齐次微分方

10、程对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为由于 不是特征根，故所给方程特解为于是所于是所给方程的一个特解方程的一个特解为带入入所所给方程得方程得对应齐次方程的通解次方程的通解为 求 满足 的特解.解：解：二二阶常系数非常系数非齐次微分方程次微分方程对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为由于 是单特征根，故所给方程特解为所所给方程的一个特解方程的一个特解为带入入所所给方程得方程得对应齐次方程的通解次方程的通解为由初始条件得由初始条件得C1=0,C2=1,(RLC电路路)在一个由在一个由电阻阻R,电感感L,电容容C和和电源源E组成成的的闭合回路中合回路中(如如图)，电源源电动势E=100sin6

11、0t(V)，电阻阻R=2()，电感感L=0.1(H)，电容容C=1/260(F).如果开始如果开始时电路中的路中的电流流为零，零，电容器上的容器上的电荷量荷量为零，求零，求该电路路接通后接通后电容器上的容器上的电荷量随荷量随时间的的变化关系化关系.解：解：设时刻刻t该回路中的回路中的电流流为I(t)，电容器上的容器上的电荷量荷量为Q(t).有基有基尔霍夫定律得霍夫定律得由由电学知学知识有有由由题意知初始条件意知初始条件为是二是二阶常系数非常系数非齐次次线性微分方程，性微分方程，f(t)=1000sin60t,由于由于 不不是特征根，故所是特征根，故所给方程特解方程特解为带入入所所给方程得方程得

12、对应齐次方程的通解次方程的通解为对应齐次方程特征方程次方程特征方程为所所给方程的一个通解方程的一个通解为由初始条件得由初始条件得C1=30/61,C2=36/61,n阶常系数非常系数非齐次微分方程次微分方程具有形如具有形如的特解，其中的特解，其中Qm(x)是是m次多次多项式，式，而而k按按 不是特征根和是不是特征根和是r重根分重根分别取取0和和r.求 的通解.解：解：三阶常系数非齐次微分方程由于 不是特征根，故所给方程特解为所所给方程的一个特解方程的一个特解为带入入所所给方程得方程得对应齐次方程的通解次方程的通解为机动目录上页下页返回结束常系数常系数线性微分方程性微分方程四四、欧拉方程欧拉方程

13、欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则计算繁!机动目录上页下页返回结束则由上述由上述计算可知算可知:用用归纳法可法可证 于是欧拉方程于是欧拉方程 转化化为常系数常系数线性方程性方程:机动目录上页下页返回结束 求 的通解.解：解：作变换 即 所给方程化为由于 不是特征根，故所给方程特解为所所给方程的一个特解方程的一个特解为带入入所所给方程得方程得对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为例例1.解解:则原方程化原方程化为亦即亦即其根其根则对应的的齐次方程的通解次方程的通解为特征方程特征方程 机动目录上页下页返回结束 的通解的通解为换回原回原变量量,得原方程通解得原方程通解为设特解特解:代入代入确

14、定系数确定系数,得得机动目录上页下页返回结束例例2.解解:将方程化将方程化为(欧拉方程欧拉方程)则方程化方程化为即即特征根特征根:设特解特解:代入代入 解得解得 A=1,所求通解所求通解为 机动目录上页下页返回结束常数常数,则该方程的通解是方程的通解是().设线性无关函数性无关函数都是二都是二阶非非齐次次线性方程性方程的解的解,是任意是任意例例.提示提示:都是都是对应齐次方程的解次方程的解,二者二者线性无关性无关.(反反证法可法可证)(89 考研考研)机动目录上页下页返回结束例例.已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程求此方程满足初始条件足初始条件的特解的特解.解解:是是对应齐次方程的解次方

15、程的解,且且常数常数因而因而线性无关性无关,故原方程通解故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解故所求特解为有三有三 机动目录上页下页返回结束例例1.的一个特解的一个特解.解解:本本题而特征方程而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解所求特解为代入方程代入方程:比比较系数系数,得得于是所求特解于是所求特解为机动目录上页下页返回结束例例2.求解定解求解定解问题问题解解:本本题特征方程特征方程为其其根根为设非非齐次方程特解次方程特解为代入方程得代入方程得故故故故对应齐次方程通解次方程通解为原方程通解原方程通解为由初始条件得由初始条件得机动目录上页下页返回结束于是所求解于是所

16、求解为解得解得机动目录上页下页返回结束例例4 的一个特解的一个特解.解解:本本题 特征方程特征方程故故设特解特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比比较系数系数,得得于是求得一个特解于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束例例5.的通解的通解.解解:特征方程特征方程为其根其根为对应齐次方程的通解次方程的通解为比比较系数系数,得得因此特解因此特解为代入方程代入方程:所求通解所求通解为为特征方程的特征方程的单根根,因此因此设非非齐次方程特解次方程特解为机机动目目录上上页下下页返回返回结束束 例例6.解解:(1)特征方程特征方程有二重根有二重根所以所以设非非齐次方程特解次方程特

17、解为(2)特征方程特征方程有根有根利用叠加原理利用叠加原理,可可设非非齐次方程特解次方程特解为设下列高下列高阶常系数常系数线性非性非齐次方程的特解形式次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习时可可设特解特解为 时可可设特解特解为 提示提示:1.(填空填空)设机动目录上页下页返回结束2.已知二已知二阶阶常微分方程常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比比较系数得系数得故原方程故原方程为对应齐次方程通解次方程通解:原方程通解原方程通解为机动目录上页下页返回结束例例8.11解解:由第七由第七节例例1(P293)知知

18、,位移位移满足足质量量为m的物体自由的物体自由悬挂在一端固定的挂在一端固定的弹簧上簧上,在无外力作用下做自由运在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运求物体的运动规律律 立坐立坐标系如系如图,设 t=0 时物体的位置物体的位置为取其平衡位置取其平衡位置为原点建原点建 因此定解因此定解问题为自由振自由振动方程方程,机动目录上页下页返回结束五五、应用用举例例方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振无阻尼自由振动情况情况 (n=0)机动目录上页下页返回结束解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率 机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动目录上页下页返回结束作作业业(A)1(1),(4);(B)1(1).习题课2目录上页下页返回结束