《导数及其运算》PPT课件.ppt

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1、第一节第一节 导数及其运算导数及其运算返回目录返回目录 1.导数的概念若函数若函数y=f(x)在在x0处的增量处的增量y与自变量的增量与自变量的增量x的比的比值值,当当x0时的极限时的极限lim =存在存在,则称则称f(x)在在x0处可导处可导,并称此极限值为函数并称此极限值为函数f(x)在在x0处的处的导数导数,记为记为 或或 .x0y|x=x0 f(x0)返回目录返回目录 2.导函数如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就就 说说 f(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导,其导数也是开区间其导数也是开区间(a,b)内的函内的函数数,又称作又称

2、作f(x)的导函数的导函数,记作记作 或或 .3.函数f(x)在x0处的导数函数函数f(x)的导函数的导函数f(x)在在x=x0处的函数值处的函数值 即为函数即为函数f(x)在在x0处的导数处的导数.4.导数的几何意义(1)设函数设函数f(x)在在x0处可导处可导,则它在该点的导数等于函数所则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的处的 .(2)设设s=s(t)是位移函数是位移函数,则则s(t0)表示物体在表示物体在t=t0时刻的时刻的 .f(x)y f(x0)切线的斜率切线的斜率 瞬时速度瞬时速度 返回目录返回目录(3)设设v=v(t)是速度函数是速度

3、函数,则则v(t0)表示物体在表示物体在t=t0时刻的时刻的 .5.常用的导数公式C=(C为常数为常数);(xm)=(m Q);(sinx)=;(cosx)=;(ex)=;(ax)=;(lnx)=;(logax)=.6.导数的运算法则f(x)g(x)=f(x)g(x),Cf(x)=Cf(x)(C为常数为常数),加速度加速度0 mxm-1 cos x -sinx exaxlnalogae f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),7.复合函数求导的运算法则一般地一般地,设函数设函数u=(x)在点在点x处有导数处有导数ux=(x),函数函数y=f(u)在在u处有导数处有导数yu=f(u

4、),则复合函数则复合函数y=f(x)在点在点x处也有导数处也有导数,且且yx=.返回目录返回目录 返回目录返回目录 考点一考点一考点一考点一 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义用导数定义求函数用导数定义求函数y=f(x)=在在x=1处的导数处的导数.【分析分析】利用导数定义求函数的导数应分三利用导数定义求函数的导数应分三步：步：求函数增量求函数增量y;求平均变化率求平均变化率 ;求极限求极限lim .x0题型分析题型分析返回目录返回目录【评析评析评析评析】本题的关键是对本题的关键是对 的变形的变形.【解析解析解析解析】y=f(1+x)-f(1)对应演练对应演练对应演练对应演练利用导数定义

5、求导利用导数定义求导:（1）y=x2在在x=2处的导数值处的导数值;（2）y=在在x=1处的导数值处的导数值.返回目录返回目录 返回目录返回目录 返回目录返回目录 考点二考点二考点二考点二 利用导数公式求导利用导数公式求导利用导数公式求导利用导数公式求导 求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=-3x3-7x2+1;(2)y=ln|x|;(3)y=;(4)y=3xex-2x+e;(5)y=;(6)y=xcosx-sinx.【分析分析分析分析】直接应用导数公式和导数的运算法则直接应用导数公式和导数的运算法则.返回目录返回目录【解析解析解析解析】(1)y=(2)当当x0时，时，y=lnx,y=

6、;当当x0时，时，y=ln(-x),y=()(-1)=.y=.(3)返回目录返回目录 返回目录返回目录(4)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)+0=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.(5)y=(6)y=(xcosx)-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.【评析评析评析评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性式使用的合理性及准确性.返回目录返回目录 返回

7、目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练求下列函数的导数求下列函数的导数:（1）y=x2sinx;（2）y=（3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+).（1）y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.（2）y=返回目录返回目录（3）y=-sin(2x2+1)(2x2+1)=-4xsin(2x2+1).（4）y=返回目录返回目录 考点三考点三考点三考点三 求复合函数的导数求复合函数的导数求复合函数的导数求复合函数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=sin(2x+);(2)y=log2(2x2+3x+1).【分析分析分析分析】形如形如f(a

8、x+b)型函数的导数型函数的导数,可用复合函数的可用复合函数的求导法则求导法则.返回目录返回目录【解析解析解析解析】(1)解法一解法一:设设y=sinu,u=2x+,则则yx=yuux=cosu2=2cos(2x+).解法二解法二:y=cos(2x+)(2x+)=2cos(2x+).返回目录返回目录 返回目录返回目录(2)解法一解法一:设设y=log2u,u=2x2+3x+1,则则yx=yuux=log2e(4x+3)=(4x+3)=log2e.解法二解法二:y=log2(2x2+3x+1)=(2x2+3x+1)=(4x+3)=log2e.【评析评析评析评析】求形如求形如f(ax+b)型复合函

9、数的导数型复合函数的导数,一般要利用一般要利用求导法则求导求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决将问题转化为基本函数的导数解决,具体地具体地:(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适适当选定中间变量当选定中间变量.(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而而其中特别需要注意中间变量的系数其中特别需要注意中间变量的系数.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出求出各函数的导数各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数并把中间变量转换成自变量的函

10、数.(4)对较复杂的函数对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程要先化简再求导以简化运算过程.返回目录返回目录 返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x .(1)设设u=1-3x,y=u-4.则则yx=yuux=-4u-5(-3)=.(2)设设y=u2,u=sinv,v=2x+,则则yx=yuuvvx=2ucosv2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+).(3)y=(x )=x +x()=+=.返回目录返回目录 返回目录返回目录 考点四考点四考点四考点四 导数的几何意义导数的

11、几何意义导数的几何意义导数的几何意义已知曲线已知曲线y=x3+.（1）求曲线在）求曲线在x=2处的切线方程；处的切线方程；（2）求曲线过点（）求曲线过点（2，4）的切线方程）的切线方程.【分析分析分析分析】(1)可知切点为可知切点为(2,4),则在则在(2,4)处的切线处的切线可求可求.(2)过点过点(2,4)的切线中的切线中,(2,4)可能为切点可能为切点,也可能为也可能为另外一条切线与曲线的交点另外一条切线与曲线的交点.【解析解析解析解析】(1)y=x2,在点在点P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点曲线在点P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y-4=4(

12、x-2),即即4x-y-4=0.返回目录返回目录 返回目录返回目录(2)设曲线设曲线y=x3+与过点与过点P(2,4)的切线相切于点的切线相切于点A(x0,)，则切线的斜率，则切线的斜率 .切线方程为切线方程为y-()=(x-x0),即即y=x-+.点点P(2,4)在切线上在切线上,4=2 -+,即即 -3 +4=0,+-4 +4=0,(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得解得x0=-1或或x0=2,故所求的切线方程为故所求的切线方程为4x-y-4=0或或x-y+2=0.返回目录返回目录 【评析评析评析评析】(1)解决此类问题一定要分清解决此类问题一

13、定要分清“在某点处的在某点处的切线切线”，还是，还是“过某点的切线过某点的切线”的问法的问法.(2)解决解决“过某点的切线过某点的切线”问题，一般是设出切点坐问题，一般是设出切点坐标为标为P(x0,y0)，然后求其切线斜率，然后求其切线斜率k=f(x0)，写出其切线，写出其切线方程方程.而而“在某点处的切线在某点处的切线”就是指就是指“某点某点”为切点为切点.(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲当曲线是二次曲线时线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切我们知道直线与曲线相切,有且只有一有且只有一个公共点个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确这种观点

14、对一般曲线不一定正确.对应演练对应演练对应演练对应演练已知曲线已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线，直线l:y=kx,且且l与与C切于切于点点(x0,y0)(x00),求直线求直线l的方程及切点坐标的方程及切点坐标.返回目录返回目录 返回目录返回目录 解解:直线直线l过原点过原点,则则k=(x00).由点由点(x0,y0)在曲线在曲线C上上,得得y0=-3 +2x0,=-3x0+2.y=3x2-6x+2,k=3 -6x0+2.又又k=,2 -6x0+2=-3x0+2,整理得整理得2 -3x0=0.x00,x0=,此时此时y0=-,k=-,因此直线因此直线l的方程为的方程为y=-x,切点坐标

15、为切点坐标为(,-).返回目录返回目录 1.在对导数的概念进行理解时在对导数的概念进行理解时,特别要注意特别要注意f(x0)与与(f(x0)是不一样的是不一样的,f(x0)代表函数代表函数f(x)在在x=x0处的导数值处的导数值,不一定为不一定为0;而而(f(x0)是函数值是函数值f(x0)的导数的导数,而数值而数值f(x0)是是一个常量一个常量,其导数一定为其导数一定为0,即即(f(x0)=0.2.对于函数求导对于函数求导,一般要遵循先化简一般要遵循先化简,再求导的基本再求导的基本原则原则,求导时求导时,不但要重视求导法则的应用不但要重视求导法则的应用,而且要特别注而且要特别注意求导法则对求

16、导的制约作用意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时在实施化简时,首先必须首先必须注意变换的等价性注意变换的等价性,避免不必要的运算失误避免不必要的运算失误.高考专家助教高考专家助教返回目录返回目录 3.复合函数的求导方法复合函数的求导方法 求复合函数的导数求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解决将问题转化为基本函数的导数解决.(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的函数复合而成的,适当选定中间的变量适当选定中间的变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系而其中特别要注意的是中间变量的关系.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出求出各函数的导数各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导熟练以后复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略中间步骤可以省略,不必不必再写出函数的复合过程再写出函数的复合过程.