《无穷限广义积分》PPT课件.ppt

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1、第七章讨论的定积分，都是在有限区间有限区间上的上的有界有界函数函数这类积分属于通常意义下的积分.的积分，但在实际问题中，还会遇到积分区间为无限积分区间为无限 或被积被积函数函数在积分区间上是无界无界的情况，这就需将定积分的概念推广，推广后的积分被称为广义积分广义积分.常义积分积分限有限有限被积函数有界有界推广推广无穷限无穷限的广义积分无界函数无界函数的广义积分第一节 无穷限广义积分二、二、无穷限积分的判别法无穷限积分的判别法一、无穷限积分的定义一、无穷限积分的定义一、一、无穷限积分的定义无穷限积分的定义引例引例 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 若存在,则称

2、此极限为 f(x)的无穷限广义积分广义积分,记作这时称广义积分收敛收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散发散.类似地,若则定义定义定义 设则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分第一类广义积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该广义积分发散.例例1解解思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例例解解例例2解解例例3解解无穷积分的基本运算性质无穷积分的基本运算性质其它类型的无穷积分的情形类似于此.二、二、无穷积分敛散性的判别法无穷积分敛散性的判别

3、法定理定理11.1(柯西收敛原理柯西收敛原理)广义积分收敛当且仅当对任给的存在A0,当A，A”A时，有定理定理11.2若广义积分收敛，且 在任意有限区间可积，则 收敛。定理证定理（比较判别法）证定理（比较判别法的极限形式法）读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.例例4解解定理（柯西极限判别法）证例例5解解例例6解解例例7解解下面介绍两个有关函数乘积的 无穷积分敛散性的判别法定理（阿贝尔判别法）有关证明请参看 微积分学教程第二卷第三分册 .M.菲赫金哥尔茨 北京大学高等数学教研组译 人民教育出版社 1954.定理（狄利克雷判别法）有关证明请参看 微积分学教程第二卷第三分册 .M.菲赫金哥尔茨 北京大学高等数学教研组译 人民教育出版社 1954.例例8解解4.无穷积分的绝对收敛性定理证定理（柯西判别法）该定理的证明请读者自己完成.例例9解解