《平均变化率自己做》PPT课件.ppt

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1、3.1.1 3.1.1 平均变化率平均变化率 世世界界充充满满着着变变化化，有有些些变变化化几几乎乎不不被被人人们们察察觉觉，而而有有些些变变化化却却让让人人们感叹与惊讶们感叹与惊讶!美国康乃大学曾经做过一个有名的美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验青蛙试验”。试验人员。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无

2、戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。1、在经营某商品中，甲挣到在经营某商品中，甲挣到10万元，万元，乙挣到乙挣到2万元，你能说甲的经营成果万元，你能说甲的经营成果一定比乙好吗？一定比乙好吗？变式变式：在经营某商品中，甲用在经营某商品中，甲用5年时间年时间挣到挣到10万元，乙用万元，乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万万元，如何比较和评价甲，乙两人的经元，如何比较和评价

3、甲，乙两人的经营成果？营成果？注注：仅考虑：仅考虑一个一个量的变化是不行的，要考量的变化是不行的，要考虑虑一个一个量相对于量相对于另一个另一个量改变了多少量改变了多少时间时间3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4 情境情境情境情境22 某市某市某市某市 3 3月月月月1818日到日到日到日到4 4月月月月2020日日日日期间的日期间的日期间的日期间的日最高气温记载最高气温记载最高气温记载最高气温记载.温差温差15.1温差温差14.8问题问题1 1：“气温陡增气温陡增”是一句生活用语，是一句生活用语，气温差不能反映气温变化的气温差不能反映气温变化的快

4、慢快慢程度程度 华罗庚华罗庚苏教版选修苏教版选修1-11-1平均变化率平均变化率时间时间3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4 情境情境情境情境22 某市某市某市某市 3 3月月月月1818日到日到日到日到4 4月月月月2020日日日日期间的日期间的日期间的日期间的日最高气温记载最高气温记载最高气温记载最高气温记载.温差温差15.1温差温差14.818.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线气温曲线气温曲线气温曲线yC-yBxC-xB化化 曲曲 为为 直直 它的数学意它的数学意

5、义是什么？义是什么？（形与数两方面）（形与数两方面）如何如何从数学角度刻画从数学角度刻画房价房价“暴涨暴涨”？问题问题1x年年y元元/m2(13,11000)1211,1999 2009 2010 20112200）2200暴涨暴涨概念形成概念形成 建立数学建立数学 生活中生活中处处蕴处处蕴含着数学化的知含着数学化的知识识，体会体会形成形成感受感受房价房价“暴涨暴涨”气温气温“陡升陡升”股指股指“跳水跳水”、GDP“猛增猛增”如何用数学如何用数学来反映山势的平来反映山势的平缓与陡峭程度？缓与陡峭程度？HABCDFXkXk+1X0X1X2yO例：剖面示意图例：剖面示意图:A是登山者的出发点是登山

6、者的出发点,H是山顶是山顶,登山问题登山问题x自变量自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值表示某旅游者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。想想看，表示此时旅游者所在的高度。想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？陡峭程度呢？某旅游者从某旅游者从A点爬到点爬到B点，假设这段山路是平直的。点，假设这段山路是平直的。设点设点A的坐标为的坐标为(x0，y0)，点，点B的坐标为的坐标为(x1，y1)，自变量自变量x的改变量为的改变量为x1x0，记作记作x，HABCDFXkXk+1X0X1X2yO函数值的改变量为函数值的改变量为y

7、1y0，记作记作y，即即x=x1x0，y=y1y0，竖直位移与水平位移之比竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大，的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。山坡越陡；反之，山坡越平缓。一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。再用对平直山坡每一小段的山坡可视为平直的。再用对平直山坡AB分分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。地刻画。现在摆在我们面前的问题是：山路是现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路

8、的陡峭程度呢？程度呢？HABCDFXkXk+1X0X1X2yOD1X3HABCDFXkXk+1X0X1X2yOyOxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线直线AB的斜率的斜率:直线直线CD1的斜率的斜率:注意各小段的注意各小段的 是不是不尽相同的。尽相同的。注意各小段的注意各小段的 是不尽相同的。但不是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值差的比值 来度量。由此我们引出来度量。由此我们引出函函数

9、平均变化率数平均变化率的概念。的概念。平均变化率的概念：平均变化率的概念：一般地，一般地，已知函数已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，是其定义域内不同的两点，记记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).则当则当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x的平均变化率。的平均变化率。AX0X1y思考思考:函数平均变化率的几何意义？函数平均变化率的几何意义？直线直线AB的的斜率斜率函数平均变化率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比函数值的改变量与自变量的改变量之比 观察函数f(x)的图象倾斜角为倾斜角为

10、，直线，直线AB的斜率为的斜率为k，过曲线过曲线 上的点上的点 割线的斜率。割线的斜率。OABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)xM 曲线陡峭程度曲线陡峭程度是是平均变化率平均变化率的的“视觉化视觉化”(1)(1)平均变化率平均变化率是是曲线陡峭程度曲线陡峭程度的的“数量化数量化”，(2)(2)用平均变化率用平均变化率“量化量化”一段曲线的陡峭程度一段曲线的陡峭程度是是“粗糙不精确的粗糙不精确的”，但应注意当，但应注意当x很小时，很小时，这种这种“量化量化”便由便由“粗糙粗糙”逼近逼近“精确精确”。说明：说明：OABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)x例例1

11、求函数求函数y=x2在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。解：函数解：函数y=x2在区间在区间x0，x0+x 的平均变化率为的平均变化率为例例2求函数求函数 在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率的平均变化率(x00，且，且x0+x0).解：函数解：函数 的平均变化率为的平均变化率为 例例3已知函数已知函数f(x)=x2+x的图象上的一的图象上的一点点A(1,2)及临近一点及临近一点B(1+x,2+y),则则 3x练习题练习题1.设函数设函数y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，函数的改变量为（）时，函数的

12、改变量为（）Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0)x Df(x0+x)f(x0)D 2.一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一，则在一段时间段时间1，2内的平均速度为（）内的平均速度为（）A4 B8 C 6 D6C4.在曲线在曲线y=x2+1的图象上取一点的图象上取一点(1,2)及附及附近一点近一点(1+x,2+y)，则，则 为（）为（）A B C DC变式变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系：甲、乙两人跑步，路程与时间关系 如下图所示，试问：如下图所示，试问：（1）图）图1中甲、乙两人哪一个跑的中甲、乙两人哪一个跑的较快较快？（2）图）图2 中快到终点时，谁跑的中快到终点时，谁跑的较快较快？图图1图图2微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的求物体在任意时刻的速度速度与与加速度加速度等等;二、求二、求曲线的切线曲线的切线;三、求已知函数的三、求已知函数的最大值与最小值最大值与最小值;四、求四、求长度、面积、体积和重心长度、面积、体积和重心等。等。导数是微积分的核心概念之一它是研究导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。题最一般、最有效的工具。