《数学建模概率论》PPT课件.ppt
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1、第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1 1页页第六章 参数估计 点估计的几种方法 点估计的评价标准 最小方差无偏估计 贝叶斯估计 区间估计 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2 2页页一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3 3页页设 x1,x
2、2,xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作为 的估计值，称为 的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：其一 是如何给出估计，即估计的方法问题；其二 是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4 4页页 点估计的几种方法 替换原理和矩法估计 一、矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值E(X)，即 ；用样本方差估计总体方差Var(X)，即用
3、样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数，用样本中位数估计总体中位数。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第5 5页页例 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为:和 。矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大
4、学10/30/202210/30/2022第第6 6页页二、概率函数二、概率函数P P(x x,)已知时未知参数的矩法估计已知时未知参数的矩法估计 设总体具有已知的概率函数 P(x,1,k)，x1,x2,xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若 1,k 能够表示成 1,k 的函数 j=j(1,k)，则可给出诸 j 的矩法估计为 其中第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第7 7页页例 设总体服从指数分布，由于EX=1/，即=1/EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可
5、取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第8 8页页例 x1,x2,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a,b的矩估计：第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第9 9页页 极(最)大似然估计 定义 设总体的概率函数为P(x;)，是参数 可能取值的参数空间，x1,x2,xn 是样本，将
6、样本的联合概率函数看成 的函数，用L(;x1,x2,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1010页页 如果某统计量 满足 则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE（Maximum Likelihood Estimate）。人们通常更习惯于由对数似然函数lnL()出发寻找 的极大似然估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1111页页例
7、 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1,n2 ,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为 其对数似然函数为第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1212页页将之关于 求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以 是极大值点。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1313页页 极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是 的极大似然估计，则对任一函数 g()，其极大似然估计为 。该性质称为极大似然估计的不变性，从
8、而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1515页页 则称随机区间 为 的置信水平为1-的置信区间，或简称 是 的1-置信区间.和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信上限.这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1616页页例 设x1,x2,x10是来自N(,2)的样本，则 的置信水平为1-的置信区间为 其中，,s 分别为样本均值和样本标准
9、差。这个置信区间的由来将在节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取，则t0.95，上式化为第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1717页页 现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图上。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华
10、东师范大学10/30/202210/30/2022第第1818页页 由图可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。图6.5.1 的置信水平为的置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1919页页 取，我们也可以给出100个这样的区间，见图。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。图6.5.2 的置信水平为的置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2020页页定义 沿用定义的记号，如对给
11、定的(0 1)，对任意的，有 （）称 为 的1-同等置信区间。同等置信区间是把给定的置信水平1-用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2121页页定义 若对给定的(0 1)和任意的，有 ，则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1-同等置信下限。若对给定的(0 1)和任意的，有 ,则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。第六章
12、第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2222页页6.5.3 单个正态总体参数的置信区间 一、一、已知时已知时 的置信区间的置信区间由此给出了的同等置信区间为 ，。（）这是一个以 为中心，半径为 的对称 区间，常将之表示为 。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2323页页例 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为克。试求该物体重量的置信区间。解：此处1-=，=，查表知u，于是该物体重量 的置信区间为 ，从而该物体重量的置信区间为
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