《导数的应用问题》PPT课件.ppt

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1、1中值定理设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于 x0 的 x 值,都有 f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)则称函数f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),而x0称为函数f(x)的极大点(或极小点)函数极值的概念极大值和极小值统称为函数的极值.极大点和极小点统称为函数的极值点.v费马费马(Fermat)定理定理 如果如果 x0是是函数函数 f(x)的极值点的极值点,并且并且f(x)在该点可导在该点可导,则则 f (x0)0 (逆命题不一定成立逆命题不一定成立)例如,函数y=x2+1,x=0是y的极值点,且f(x)=2x,f(0)=0例如,函

2、数y=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是y的极值点 函数驻点的概念使导数f(x)为零的点称为f(x)的驻点或稳定点可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 x x 使得使得 f(b)-f(a)=f (x x)(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v拉格朗日拉格朗日(Lagrang

3、e)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 x x 使得使得 f(b)-f(a)=f (x x)(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 x x 使得使得 f(b)-f(a)

4、=f (x x)(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 在在区区间间 I 上上任任取取两两点点 x1 x2(x1x2)应应用用拉拉格朗日中值定理格朗日中值定理 在在(x1,x2)内至少内至少存在一点存在一点 x x,使使 f(x2)f(x1)f (x x)(x2 x1)(x1x x 0（或（或 f (x)0),则函数则函数f(x)在在该区间内单调增加（或单调减少）该区间内单调增加（或单调减少）v用导数求函数单调区间的方法用导数求函数单调区间的方法 求驻点，将区间分解为几个子区间求驻点，将区间分解为几个子区间 对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区对每一个子区间判定函数导数的

5、正、负性，得到函数在该子区间的单调性。间的单调性。例：求函数例：求函数f(x)=(x-1)2-4的单调区间。的单调区间。解：函数的定义域为（解：函数的定义域为（-，+），），由由f(x)=2(x-1)(x-1)=2x-2=0 可得驻点 =1当x1时，f(x)1时，f(x)0.所以函数f(x)在（-，1）上单调减少，在（上单调减少，在（1，+）上单调增加。）上单调增加。提问：提问：f(a)和和 f(b)是极值吗？是极值吗？v函数的极值函数的极值函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设设函函数数f(x)在在点点x0的的某某邻邻域域U(x0)内内有有定定义义 如如果果对对于于任任意意x U(x0)有

6、有f(x)f(x0)(或或f(x)f(x0)则称则称f(x0)是函数是函数 f(x)的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值)。x1x2x3x4x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点 观察与思考：观察与思考：观察极值与切线的关系观察极值与切线的关系 设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导 且在且在x0处取得极值处取得极值 那么那么f (x0)0 驻点驻点 使导数使导数f (x)为零的点为零的点(方程方程f (x)0的实根的实根)称为函称为函数数f(x)的驻点的驻点 v定理定理观察与思考：观

7、察与思考：观观察察曲曲线线的的升升降降与与极极值值之之间间的关系的关系 x1x2x3x4x5 设函数设函数f(x)在在x0处连续处连续 且在且在(a x0)(x0 b)内可导内可导 (1)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值 (2)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值 (3)如果在如果在(a x0)及及(x0 b)内内 f (x)的符号相同的符号相同 那么函数那么函数f(x)在在x0处没有极值处没有极值

8、v判别法则判别法则I(I(第一充分条件第一充分条件)x1x2x3x4x5v确定极值点和极值的步骤确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数求出导数f (x)(2)求出求出f(x)的全部驻点和不可导点的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值确定出函数的所有极值点和极值 v判别法则判别法则I(I(第一充分条件第一充分条件)设函数设函数f(x)在在x0处连续处连续 且在且在(a x0)(x0 b)内可导内可导 (1)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0

9、那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值 (2)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值 (3)如果在如果在(a x0)及及(x0 b)内内 f (x)的符号相同的符号相同 那么函数那么函数f(x)在在x0处没有极值处没有极值 v判别式判别式II(II(第二充分条件第二充分条件)设设函函数数f(x)在在点点x0处处具具有有二二阶阶导导数数且且f (x0)0 f (x0)0 那么那么 (1)当当f (x0)0时时 函数函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值 (2)当当f (x0)0时

10、时 函数函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值 应注意的问题：应注意的问题：如果如果f (x0)0 f (x0)0 则定理则定理3不能应用不能应用 但不但不能由此说明能由此说明f(x0)不是不是f(x)的的极值极值.讨论：讨论：函数函数 g(x)x3在点在点x 0是否有极值？是否有极值？最大值最小值问题最大值最小值问题 观察与思考：观察与思考：观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 怎样求函数的最大值和最小值怎样求函数的最大值和最小值 x1x2x3x4x5Mmx1x2x3x4x5Mm 闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数其其最最大大值值和和最

11、最小小值值只只可可能能在在区区间间的的端点及区间内的极值点处取得端点及区间内的极值点处取得 函函数数在在闭闭区区间间a b上上的的最最大大值值一一定定是是函函数数的的所所有有极极大大值值和和函函数数在在区区间间端端点点的的函函数数值值中中的的最最大大者者 其其最最小小值值一一定定是是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 v极值与最值的关系极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mmv最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法 (1)求出函数求出函数f(x)在在(a b)内的驻点和不可导点内的驻点和不可导点 设这设这此点此点为为x1 x2

12、 xn (2)计算函数值计算函数值 f(a)f(x1)f(xn)f(b)(3)判断判断 最大者是函数最大者是函数f(x)在在a b上的最大值上的最大值 最小者最小者是函数是函数f(x)在在a b上的最小值上的最小值 v极值极值VS最大值、最小值最大值、最小值 (1)极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之内可以有多个极大值或极小值内可以有多个极大值或极小值 (2)最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范围内只有一个最大值和一个最小值。围内只有一个最大值和一个最小值。例例 求函数求函数f(x)|x2 3x 2|在在 3 4上的最大值与最小上的最大值与最小值值 解解比较可得比较可得f(3)20是是 f(x)在在 3 4上的最大值上的最大值 f(1)f(2)0是是f(x)在在 3 4上的最小值上的最小值 v特殊情况下的最大值与最小值特殊情况下的最大值与最小值 如果如果 f(x)在一个区间在一个区间(有限或无限有限或无限 开或闭开或闭)内可导且只内可导且只有一个驻点有一个驻点x0 那么那么 当当f(x0)是极大值时是极大值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最大值在该区间上的最大值 当当f(x0)是极小值时是极小值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最小值在该区间上的最小值