数学归纳法的七种变式及其应用(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学归纳法的七种变式及其应用 1 引言 数学归纳法是数学中关于自然数命题的主要证明方法学会并熟练运用这种方法，不仅可以帮助我们学习有关自然数的命题，而且还可以使我们更有力地解决相关问题一般地说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前项和等问题，都可以用数学归纳法解决这种方法的难点在于由时成立，去证时成立很多情形下用常规的方法由成立时，去推成立会走进死胡同，这时须另辟他径，完成证明本文旨在通过对数学归纳法的主要七种变式加以剖析，以及一些证法技巧的介绍，使初学者提高对数学归纳法的认识和应用能力2 数学归纳法的原理和定义 2.1 数学归纳法的原理假定对一切

2、自然数，我们有一个命题，设为如果下面两条成立：（1） 是真命题；（2） 对于任意的，是真命题蕴含着是真命题，则对一切自然数命题为真命题2.2 数学归纳法的定义 当时某命题正确，若在正确的情况下，能推出也正确，便可递推下去虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上这种递推就已经把所有自然数都验证了这种方法就是数学归纳法 其步骤是： （1） 验证当时某命题正确 （2） 假设时，命题正确，从而推出当时命题也正确因此原命题正确 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过度，这两步缺一不可，若只有第一步，则属于不完全归纳法；若只有第二步，则失去了假设的基础对

3、于时的证明是整个数学归纳法的重点和难点3 数学归纳法的七种变式和应用 3.1 第一数学归纳法3.1.1 这种方法是我们运用最多的，也是应用最广泛的一种方法其步骤为：（1） 奠基步骤：证明当取第一个允许值时，结论正确 注意不一定是1，也可能是其他的自然数（2） 递推步骤：假设当（）时结论正确，并以此来证明时结论也正确由步骤（1）、（2）得出结论：命题对于从开始的一切自然数均成立 3.1.2 例题解析例1 求证 （）证明 （）当时，这显然是成立的（）假设时命题正确；即：则当时， 所以，对于所有的自然数，等式都成立例2 求证 证明 （） 当时；左边右边 （） 假设时等式成立，即： 当时，左边 =右边

4、即时等式成立 由（）（）得对于一切等式成立例3 设用数学归纳法证明： 证明 假设当时等式成立，即 那么，当时，有 这就是说当 时等式成立所以，时，成立剖析 这是一种错证，缺少第一步实际上当时等式不成立，题目本身是个错题不要以为第一步“当时等式成立”无关紧要，可有可无，缺少第一步相当于失去了归纳基础，缺少第一步也会导出荒谬的结论，例如可以证出所有自然数都相等的结论事实上，假定成立，两边各加1就会得出：由此可得出全体自然数相等！例4 用数学归纳法证明： 证明 （1） 当时，不等式成立 （2） 假设当时不等式成立，即成立那么，当时， 这就是说，当时成立综合（1）（2）知原不等式对成立剖析 这种证法是

5、错误的，在数学归纳法的第二步中，在推证时命题也成立的时候必须把归纳假设即时的命题作为条件用上，否则就不是数学归纳法了正解 （1） 当时，不等式成立 （2） 假设当时不等式成立，即，也就是那么，当时有， 就是说，当时不等式也成立综合（1）（2）知原不等式对成立 3.2 第二数学归纳法3.2.1 通过仔细学习数学归纳法原理，不难发现，如果将归纳假设改写成“假设当时，命题成立”，那里的证明仍可通过，这就启发我们在必要的时候，可以将归纳假设中的“”改写为“”事实上在很多问题的证明中，我们就是这么做的这种假设形式的数学归纳法称作第二数学归纳法3.2.2 例题剖析例 证明每一个正整数都可以表示成互不相同的

6、斐波那契数列之和 证明 首先来看一下关于斐波那契数列，所谓的斐波那契数列是按照法则：所定义的数列当时，有知原命题成立假设当时，命题成立，要证对时命题成立，也就是要证明可以表示成不同的斐波那契数列之和观察斐波那契数列可发现从开始斐波那契数列严格单调上升，故知存在使：，如果则命题成立；如果，则有由于是一个不超过的自然数，所以由归纳假设知对其命题成立，即可将它表示成互不相同的斐波那契数列之和又因为所以用以表示的斐波那契数均小于，因此都不与相同，当将写成与这些数的和之后，即得到了时的命题，可见对，命题也成立，所以对一切自然数命题都成立在这里，由于我们是对使用归纳假设而并不一定就等于，而是有可能小于所以

7、若采用“”的归纳假设形式就会很麻烦了例6 已知对一切且，证明 证明 当时由及，知，命题成立假设当时，命题已成立，即有要证，也有，此时，一方面有：，另一方面有 比较上述两式：即得：将代入其中，得到又因为故由上式可得解此方程，得到或由于知（舍）因此：+1从而知时，命题也成立，所以对一切自然数都有本题采用“”的假设，在通过方程求解的过程中我们首先遇到的化简方程的问题，而这里面首先就是一个对求和的问题，为了求出这个和数，离开了“命题已对全都成立”的假设，问题就不好解决了3.3 逆向数学归纳法3.3.1这种命题的表述为：如果： （1） 对任一自然数，总有使真 （2） 真真那么，对一切自然数真这种方法也可

8、以形象地称为“留空回填”第一步证明了有无数个自然数使真（）剩下的就是上的自然数尚未证明，再由第二步，有真 真 真，这就把“空”填上了，所以这里的逆向倒推暗藏着正向推进的一面3.3.2例题解析例7 求证个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数 证明分析 个非负数的几何平均数是 算术平均数是本题就是证明： （1）证明 当是，（1）式显然是成立的，如果里面有一个等于0，（1）式也是成立的当时，（1）式是 这可以由推出，现在我们来证明当，是任意自然数的时候，定理都是成立的假设当的时候（1）式是成立的，那么 所以当的时候（1）式也成立因此当，是任何自然数的时候（1）式都是成立的进一步在推到一般的，我们

9、在假设当的时候（1）式成立的前提，下面来证明：当时，它也成立取，因为当的时候（1）式是成立的所以两边同时除以得由此得 即得所证至此命题已得到了完全的证明3.4 有限项数学归纳法3.4.1 这一证法的步骤是：设为一给定的自然数如果： （1） 真； （2） 真真；那么对不超过的自然数真 3.4.2例题解析例8 已知且 求证：证明 对用数学归纳法（1） 当时，命题成立 （2） 设命题成立即 则 这表明时命题成立所以原不等式成立 3.5 跳跃式数学归纳法 3.5.1这一变式的证法步骤是：如果：（1）真； （2）真真，那么对一切自然数真3.5.2 例题解析例9 设定义； 证明；对一切有证明 （1）当时，

10、1命题成立 当时， 命题成立 （2）假设时，命题成立， 则这就表明时命题成立 所以原命题成立剖析 这一方法的主要证明思路是：当时，这个命题都是成立的，并且证明了“假设当时，这个命题正确，那么当时这个命题也正确”于是当是任何自然数时，这个命题都是正确的 3.6 翘翘板归纳法3.6.1 这一变式的方法是：有两个命题如果“是正确的”、“假设是正确的，那么也是正确的”、“假设是正确的，那么也是正确的”那么，对于任何自然数，命题都是正确的3.6.2 例题解析例10 在级数里，如果是它的第项，那么：，这里是大于或者等于1的整数求证： 证明 令= =显而易见时 是正确的假设，那么 这就是说，假设假设是正确的

11、，那也是正确的 又假设，那么 因此对于任何自然数，命题都是正确的 即原命题正确3.7 超限归纳法这一变式是为了证明某些特殊命题的需要，将数学归纳法从正整数集推广至所有良序集而得到的本文对这一变式只给出原理以便读者了解这种方法，就不再给出例题及证明了超限归纳法原理：设是一个良序集，是与元素有关的一个命题：（1） 如果对于中的最小元，成立（2） 假定对于任何，成立，可证明也成立则对于任何都成立4 数学归纳法的简单应用及证法技巧数学归纳法在数学上是很常用的方法，很多命题都可以用这种方法加以证明，请看下例：例11 设是由，定义的数列求证：成立分析 由于，所以易证 剩下的只要证即可，考虑到其右边是一个与

12、有关的代数式故试用数学归纳法证之证明 （1） 当时，不等式成立 （2） 设时，不等式成立，即，那么，时由和归纳假设，知，所以 ，因，不为同向不等式，无法完成从到的证明事实上，要证明时命题成立，只有找到关系才能推导下去，所以，寻觅出中的是此题的关键所在如果我们注意到本题开头已证后，此题就迎刃而解了， 因为 所以 即例12 已知n个圆中每两个圆都相交于两点，且无三个圆过同一点，用数学归纳法证明：这个圆将平面分成块区域分析：用数学归纳法证明几何问题时，关键是要把时和时之间的关系弄清楚证明 （1）当时，1个圆将平面分成2块区域，而，所以命题正确 （2）假设时命题正确，即满足条件的个圆将平面划分成块区域

13、当时，平面上增加了个交点，而这个点将个圆分成2k段弧，每块弧将原来的一块区域割成了两块区域，所以平面上增加块区域，所以圆将平面划分成块区域所以时命题正确，由（1）（2），得命题对一切都正确例13 设，用数学归纳法证明：证明 （1）当时，不等式显然成立（2）假设当时不等式成立，即 那么，当时，有这就是说，当时不等式成立综合（1）（2）知原不等式成立剖析 在将归纳假设“”作为条件证明，“”时，应设法从中配凑出但若按“”要其小于1则显然是不可能！至此，有的初学者会认为此题不能用数学归纳法，其实不然，只是配凑不恰当而已 5 学好数学归纳法的几种方法5.1 学会从头看起在数学归纳法中，最原始而又不失去重

14、要性的地方，便是从头做起也就是的情形，向这些简单的情形讨教是最合算的，也是最可靠的事实上，在很多问题上，如果真把这些最开头的几步看透了弄清了，想仔细了，那么解决的办法也就有了在数学归纳法中更是如此若失去了基础步骤也就是第一步，可能会得出荒谬的结论所以说基础的也是最重要的 5.2 在起点上下功夫 起点的重要不仅仅表现在验证，而是其对后面归纳过度的启示有时我们也会遇到一些问题，在其归纳的第一步上就很难，需要认真地下一番功夫，需要开阔思路，寻找合理的切入点如：在第一步我们证明成立而第二步的证明中需要验证这时我们的第一步就出问题了第一步不仅要证成立，还要证时成立才能满足第二步的需要 5.3 正确选择起

15、点和跨度在数学归纳法的基本形式之下，第一步通常总是由验证做起，这叫做“起步”， 叫做“起点”，在通常情况下，起点一般只有一个第二步则通常是由推出，或者说是由“”跨到“”，即每次跨一步换句话说通常是以“跨度1”前进的，那么，这是不是说这种安排起点和跨度的方式一定不能改变的呢？显然不是的，人们可以根据问题的需要对起点和跨度作灵活而适当的安排不过需要注意的是绝对不能造成逻辑上的漏洞事实上，前面我们说到的跳跃式归纳法就是灵活而又恰当的安排了起点和跨度5.4 选择适当的归纳假设形式在数学归纳法中，归纳假设总是以“假设当时命题成立”的形式出现的其实，这并不是归纳假设的唯一形式，前文我们所谈到的“有限项归纳

16、法”和“第二数学归纳法”都是灵活地选取了归纳假设形式5.5 非常规的归纳途径在数学归纳法的递推步骤中，无论是常规的一步一跨，由到；还是加大跨度数步一跨；甚至改变归纳假设形式，使得可由某个跨至；归纳中的进军路线都是一直向前，只进不退的但有的时候，这种强硬方针导致一定的困难这时，就应当采取较为灵活的态度，改变只进不退的进军路线，采用有进有退，进退结合的方式选取一条合适的归纳途径这种方法就是我们前文说到的逆向归纳法，这种归纳途径往往是不甚规则的，在处理诸如此类的问题时，便要求我们在归纳途径的选择上持较为灵活的态度5.6 合理选取归纳对象这种方法的运用上涉及的范围较广，只希望读者了解有这么一种方法而已事实上，我们有时会遇到一些问题，其中的变量不止一个甚至并不直接与自然数有关，这时就要求我们对该问题合理的分析对归纳对象作出合理的安排与选择总之，数学归纳法的应用比较广泛，方法也很多，可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合问题能力另外，数学归纳法也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带专心-专注-专业