《数值计算引论》PPT课件.ppt

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1、数值计算方法数值计算方法本课程的性质、目的和任务：本课程的性质、目的和任务：本本课程是电气工程及其自动化专业一门专业基课程是电气工程及其自动化专业一门专业基础课。其目的是通过本课程的学习，使学生掌握利础课。其目的是通过本课程的学习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并通用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并通过数值上机实验提高学生程序设计的基本技能过数值上机实验提高学生程序设计的基本技能。为为进一步学习专业课和毕业后从事专业工作打下必要进一步学习专业课和毕业后从事专业工作打下必要的基础。的基础。课时安排：课时安排：讲课：讲课：2424学时学时 上机：上机：8 8学时学时

2、第一章第一章 数值计算引论数值计算引论主要内容：主要内容：u 数值计算方法的概念、研究对象及特点数值计算方法的概念、研究对象及特点u 数值计算中的误差；数值计算中的误差；u 近似数的误差表示法；近似数的误差表示法；u 运算误差分析；运算误差分析；u 减小减小运算误差的原则；运算误差的原则；数值计算方法研究的对象数值计算方法研究的对象 随着计算机技术的发展和科学研究、生产实随着计算机技术的发展和科学研究、生产实践的需要，利用计算机作为科学计算的主要工具践的需要，利用计算机作为科学计算的主要工具越来越不可缺少，因而要求越来越不可缺少，因而要求研究适合计算机使用研究适合计算机使用的数值计算方法的数值

3、计算方法。为了更具体地说明数值计算方。为了更具体地说明数值计算方法的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算法的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题的一般过程。问题的一般过程。1.1 1.1 数值计算方法数值计算方法解决科学计算问题的过程解决科学计算问题的过程数值数值分析分析 计算机计算机近似近似解解实际问题实际问题数学模型数学模型计算机计算的特点：计算机计算的特点：运算速度快运算速度快 只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算 计算机计算数学问题的步骤：计算机计算数学问题的步骤：数学问题数学问题四则运算四则运算编程指令编程指令 数值计算方法，又称数值分析或

4、计算方法数值计算方法，又称数值分析或计算方法,它是它是研究用计算机求解研究用计算机求解各种数学问题的数值方法各种数学问题的数值方法及其理论及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。据和基础。根据计算机的特点，必须把对数学问题的解法归根据计算机的特点，必须把对数学问题的解法归结为结为及逻辑运算，并对运算顺序有完整、准确及逻辑运算，并对运算顺序有完整、准确的描述的算法。的描述的算法。数值计算方法定义：数值计算方法定义：解决的数学问题解决的数学问题 计算方法课是研究各种数值算法及其有关计算方法课是研究各种数值算法及其有关理论的一门课

5、程。从工程实际出发，本课程所理论的一门课程。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题主要是：要解决的数学问题主要是：非线性方程的数值求解非线性方程的数值求解 线性方程组的数值求解线性方程组的数值求解 插值和曲线拟合插值和曲线拟合 数值积分和微分数值积分和微分 常微分方程的数值求解。常微分方程的数值求解。数值算法特点：数值算法特点：1 1面向计算机面向计算机 根据计算机特点提供实际可行的有效算法，根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的；算，是计算机能直接处理的；2 2保证算法的收敛性和稳定性保

6、证算法的收敛性和稳定性 数值算法的数值解能任意逼近精确解到要数值算法的数值解能任意逼近精确解到要求的程度；还要保证算法的数值稳定性。求的程度；还要保证算法的数值稳定性。3要有好的计算复杂性要有好的计算复杂性 算法的计算复杂性是指算法的计算复杂性是指该算法的该算法的空间复杂度空间复杂度和和时间复杂度时间复杂度。空间复杂度：指算法需占用的存储空间空间复杂度：指算法需占用的存储空间.时间复杂度：指算法包含的运算次数。时间复杂度：指算法包含的运算次数。例如，求解一个例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行次乘法运算，而用克莱姆法

7、则要进行 次运次运算，如用每秒算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要亿次乘法运算的计算机要30万年。万年。1.2 数值计算中误差的来源数值计算中误差的来源 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 求近似解求近似解 方法误差方法误差(截断误差）截断误差）机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差大家一起猜大家一起猜？11/e解法之一解法之一：将将 作作Taylor展开后再积分展开后再积分S4R4取取则则称为称为截断误差截断误差=0.747 误差与有效数字误差与有效数字，例如：，例如：工程上常记为

8、工程上常记为，称为，称为绝对误差限绝对误差限 ，简称，简称误差、精度误差、精度的上限记为的上限记为由于无法准确地知道绝对误差由于无法准确地知道绝对误差 的大小，但根据具体情的大小，但根据具体情况可估计出误差范围。况可估计出误差范围。误差限不唯一，实际中常用误差限不唯一，实际中常用四舍五入四舍五入来取近似值。来取近似值。例如测量数据、四舍五入数据例如测量数据、四舍五入数据四舍五入的误差限是末位的半个单位四舍五入的误差限是末位的半个单位 绝对误差绝对误差其中其中x为精确值，为精确值，x*为为x的近似值。简记为的近似值。简记为 有效数字有效数字用科学计数法，记用科学计数法，记 （其中（其中 ）。若）

9、。若 ，则称，则称 为有为有n 位有效数字，精确到位有效数字，精确到 。有效数字即有效数字位数，它是由有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决定绝对误差决定的。的。等价定义等价定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数数 字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。定义：定义：例例：问：问：有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。证明：证明：有有 位有效数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第 位。位。43关于有效数字还要指出以下几点：关于有效数字还要指出以下几点：1)1)用四

10、舍五入取准确值的前用四舍五入取准确值的前 n n 位作为近似值，则必有位作为近似值，则必有 n n位位有效数字。有效数字。2)2)把任何数乘以把任何数乘以1010p p，等于移动该数的小数点。这样不影响其，等于移动该数的小数点。这样不影响其有效数字位数。有效数字位数。例如：例如：9.80 写成写成 10-33）数字末尾的数字末尾的0 0不可随意省去不可随意省去有有4位有效数字，而位有效数字，而00023只有只有2位有效。位有效。12300如果写成如果写成 105，则表示只有，则表示只有3位有效数字。位有效数字。准确值被认为具有无穷多位有效数字准确值被认为具有无穷多位有效数字 相对误差相对误差x

11、 的的相对误差上限相对误差上限 定义为定义为:绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量 哪个近似程度哪个近似程度 好？好？定义：定义：实际应用：实际应用：相对误差限在实际计算中常称为相对误差限在实际计算中常称为相对误差。相对误差。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。函数的误差估计函数的误差估计问题问题：对于：对于 y =f(x)，若用，若用 x*取代取代 x，将对，将对y 产生什

12、么影响？产生什么影响？设一元函数设一元函数 的自变量的自变量 的近似值为的近似值为 ，的近似值为的近似值为 ，其误差限记为，其误差限记为 。将。将 在在近似值近似值 作泰勒展开作泰勒展开 介于介于 ，之间。取绝对值得之间。取绝对值得其中：其中：为近似数为近似数 的的绝对误差限绝对误差限。分析：分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。函数的误差估计函数的误差估计注：关于多元函数注：关于多元函数 的讨论，请参阅教材第的讨论，请参阅教材第10页。页。忽略忽略 高次项，可得到高次项，可得到函数运算相对误差函数运算相对误差:函数运算绝对误差函数运算绝对误差:利用多元

13、函数的误差估计公式可得和、差、积、商的利用多元函数的误差估计公式可得和、差、积、商的误差估计误差估计1.5 减小运算误差的若干原则减小运算误差的若干原则1.避免相近二数相减避免相近二数相减(详细分析请参阅教材详细分析请参阅教材P11)例：例：a1，a2，各有，各有5位有效数字。位有效数字。而而 a2 a1，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：当当|x|1 时：时：l公式变换公式变换l如果计算公式不能改变时，增加有效位数；如果计算公式不能改变时，增加有效位数；l 当当 很接近时，采用泰勒展开；很接近时，采用泰勒展开；1.5 减小运算误差的原则减小运算误

14、差的原则2.避免小分母避免小分母:分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出3.避免大数吃小数避免大数吃小数例：用单精度计算例：用单精度计算 的根。的根。精确解为精确解为 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式在计算机内，在计算机内，109存为存为 1010，1存为存为 101。做加法时，两加做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指的指数部分须变为数部分须变为1010，则：，则：1=0.0000000001 1010，取单精度，取单精度时就成为：时就成为：109 1010+0.00000000 1010=0.10000000

15、 1010大数大数吃吃小数小数?算法算法2：先解出先解出 再利用再利用其它措施：其它措施：其它措施：其它措施：求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+40+1094.减少步骤，减少运算次数，避免误差积累。减少步骤，减少运算次数，避免误差积累。例例1：计算：计算x255的值的值 5.选用数值稳定性好的算法。选用数值稳定性好的算法。1.5 减小运算误差的原则减小运算误差的原则数值稳定性定义：数值稳定性定义：如果在执行算法的过程中舍入误差在一如果在执行算法的过程中舍入误

16、差在一定条件下能够得到控制（结果是可靠的），则该算法是数定条件下能够得到控制（结果是可靠的），则该算法是数值稳定的，否则就是数值不稳定的。值稳定的，否则就是数值不稳定的。在实际运算过程中，参与运算的各种数据一般都带有一定在实际运算过程中，参与运算的各种数据一般都带有一定的误差，这些误差即使很小，也会随着计算过程的进行不断传的误差，这些误差即使很小，也会随着计算过程的进行不断传播（或积累）下去，对结果产生一定的影响。播（或积累）下去，对结果产生一定的影响。如果计算结果对初值误差不敏感，则认为算法是数值稳定如果计算结果对初值误差不敏感，则认为算法是数值稳定的。的。算法数值稳定的一个必要条件是原始数

17、据小的变化只会引算法数值稳定的一个必要条件是原始数据小的变化只会引起最后结果有小的变化。起最后结果有小的变化。例：计算例：计算 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精确精确成成立立记为记为则初始误差则初始误差?!考察第考察第n步的误差步的误差造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定的算法不稳定的算法迅速积累，误差呈递增走势。迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动可见初始的小扰动 公式二：公式二：注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论上等价等价。方法：先估计一个方法：先估计一个IN,再反推要求的再反推要求的In(n N)。可取可取取取考察反推一步的误差：考察反推一步的误差：以此类推，对以此类推，对 n N 有：有：误差逐步递减误差逐步递减,这样的算法称为这样的算法称为稳定的算法稳定的算法