1993考研数一真题及解析.doc

《1993考研数一真题及解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1993考研数一真题及解析.doc（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、|1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1) 函数 的单调减少区间为_.1()2)(0xFdtx(2) 由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧3,0yz (0,32)的单位法向量为_.(3) 设函数 的傅里叶级数展开式为2()()fxx,则其中系数 的值为_.01cosin2nab3b(4) 设数量场 则 _.22l,uxyz(grad)ivu(5) 设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 ,则线性方程组 的通解nAA1n0Ax为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分

2、,满分 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设 , 则当 时, 是 的 ( )sin20)()xftd4(gx0x()fxg(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小(2) 双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )22()xy(A) (B) 40cosd 40cos2d(C) (D) 402 401()(3) 设有直线 与 ,则 与 的夹角为 ( )158:21xyzL26:3xyLz1L2(A) (B) 64(C) (D) 3 2(4) 设曲线积分 与路径无关,其中 具有

3、一阶连续()sin()cosxLfeydfxyd ()fx|导数,且 ,则 等于 ( )(0)f()fx(A) (B) 2xe 2xe(C) (D) 1x1x(5) 已知 , 为三阶非零矩阵,且满足 ,则23469QtP0PQ(A) 时, 的秩必为 1 (B) 时, 的秩必为 2 t 6t(C) 时, 的秩必为 1 (D) 时, 的秩必为 2三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)(1) 求 .2lim(snco)xx(2) 求 .1xed(3) 求微分方程 ,满足初始条件 的特解.22y1|xy四、(本题满分 6 分)计算 ,其中 是由曲面 与22xzdyzxdy 2zxy

4、所围立体的表面外侧.z五、(本题满分 7 分)求级数 的和.20(1)n六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1) 设在 上函数 有连续导数,且 证明 在 )()fx()0,(),fxkf()fx0,+)内有且仅有一个零点.(2) 设 ,证明 .baeba七、(本题满分 8 分)已知二次型 ,通过正交变换化成标准形22123133(,) (0)fxxax|,求参数 及所用的正交变换矩阵.22135fyya八、(本题满分 6 分)设 是 矩阵, 是 矩阵,其中 , 是 阶单位矩阵,若 ,证明AnmBnmEnABE的列向量组线性无关.B九、(本题满分 6 分)设物体 从点 出

5、发,以速度大小为常数 沿 轴正向运动.物体 从点 与(01vy(1,0)同时出发,其速度大小为 ,方向始终指向 ,试建立物体 的运动轨迹所满足的微分方A2vAB程,并写出初始条件.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分,把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2) 设随机变量 服从 上的均匀分布,则随机变量 在 内的概率分布密X(0) 2YX(0,4)度 _.()Yfy十一、(本题满分 6 分)设随机变量 的概率分布密度为 , .X|1()2xfe(1) 求 的数学

6、期望 和方差 .()EDX(2) 求 与 的协方差,并问 与 是否不相关？| |(3) 问 与 是否相互独立？为什么？X|1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】 104x【解析】由连续可导函数的导数与 的关系判别函数的单调性.0将函数 两边对 求导,得 .1()2),xFdtx1()2Fx若函数 严格单调减少,则 ,即 .() 1()20Fx所以函数 单调减少区间为 .x4【相关知识点】函数的单调性：设函数 在 上连续,在 内可导.()yfxab(,)ab(1) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调增加

7、；(,)ab(0fx(2) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调减少.()yfx,(2)【答案】 10,235【解析】先写出旋转面 的方程： .S22()1xzy令 .(,)3Fyz则 在点 的法向量为S(,)xyz,6,4Fnxyzxyz所以在点 处的法向量为(0,32).0,43620,32n因指向外侧,故应取正号,单位法向量为.0 222, 110,320,23| 5436n (3)【答案】 3|【解析】按傅式系数的积分表达式 ,1()sinnbfxd所以 .2 231()si3i3i3bxdxx 因为 为奇函数,所以 ；2sinx 0为偶函数,所以 d30sin2sin3bxdxd0 0

8、122(co)cocos3xd.0sin32x(4)【答案】 221xyz【解析】先计算 的梯度,再计算该梯度的散度.u因为 ,graduijkxyz所以 .22(r),uivuivxyz数量场 分别对 求偏导数,得22lnxyzyz,222221uxxyz由对称性知, ,22uyxz22uzxy将 分别对 求偏导,得,uxyz,22222()()uxyzxyzx, ,22()yxz22()uzxyz|因此, .2221(grad)uivxyzxyz(5)【答案】 1,Tk【解析】因为 ,由 知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故()rAn()1rA的通解形式为 .下面根据已知条件“ 的各行元

9、素之和均为零”来分析推导0Axk的一个非零解,它就是 的基础解系.0x各行元素的和均为 0,即,121120nnna 而齐次方程组 为0Ax.1212120nnnaxax 两者比较,可知 是 的解.所以应填 .12xx 0A(1,)Tk二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(B)【解析】 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,0()limxfg 0运用洛必达法则,有 sin222034330 000()()sin()cosin(s)lillmlmlicos44xxxx xxtdfg洛.230si()lx因为当 , 所以 ,所以in,22s

10、in()sixx:,2323000s()1limlilim4443xxx|所以 与 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).()fxg【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,(),x()limxl(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；0,l,(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；1()x()x:(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .,l ()x()ox若 不存在(不为 ),称 不可比较.)limx,(2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于 轴、 轴对称,(如草图)xy只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的

11、直角坐标方程复杂,而极坐标方程较为简单： .2cos显然,在第一象限部分 的变化范围是.再由对称性得04,244100cos2Sdd应选(A).(3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题, 与 的方向向量分别是1L2,12(,)0(,)ijkll与 的夹角 的余弦为 1L2,1212|31cos|(,)26ll所以 ,应选(C).3|(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关 ,()sin)()cosxfeyfxyy即 ,coxff化简得 , 即 ,()e2()xxef解之得 , 所以 .21xxefC1)eC由 得 ,因此 ,故应选(B).(0)

12、f()xfe【相关知识点】曲线积分 在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是LPdQy.PQyx(5)【答案】(C)【解析】若 是 矩阵, 是 矩阵, ,则 .AmnBs0AB()rBn当 时,矩阵的三行元素对应成比例, ,有 ,知 ,6t()1rQ3P()2rP所以, 可能是 1,也有可能是 2,所以(A)、(B)都不准确；()rP当 时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例, ,于是从t ()2r得 ,又因 ,有 ,从而 必成立,所以应当选(C).()3rQ()1r0P()1r1P三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)(1)【解析】令 ,则当 时, ,1tx0t,1021

13、lim(snco)lim(sn2co)xtx tt这是 型未定式,1,1 1sin2co1sin2co00li(s2c)li(sic)tt ttt t 而 是两个重要极限之一,即sin2o10li(ntt |.1sin2co0lim(1sin2c)ttte所以 .0siois1lm00li(sn2co)ltt ttt e而 ,i21t tt洛故 .21li(sc)xx e(2)【解析】方法一： .21xxxxdeed令 ,则 ,1xet22ln(1),tt所以 2221()xdttddt,arctnarctnxxtCeeC所以 211xxxeded.4arctn1xxxe方法二：令 ,则 ,x

14、et2221,l(),tdet所以 22()lnln(1)1x tddtt.2222l(1)l(1)l()4ttttd关于 的求解同方法一,所以21td2ln(1)4(arctn)xet C.t1xxxee(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以 得2y,即 .21xy211()x|令 ,则方程化为 ,即 ,1yz21xz21zx即 ,3()x积分得 .2zC由 得 ,1y2x即 ,2C代入初始条件 ,得 ,所以所求方程的特解是 .1|xy121xy解法二：所给方程可写成 的形式,此方程为齐次方程.2()yx令 ,则 ,所以方程可化为ux,yu,分离变量得 ,2x(2)dux积分得 , 即 .112lnl|uC2ux以 代入上式,得 .代入初始条件 ,得 ,yx2yxy1|xy1C故特解为 .21四、(本题满分 6 分)【解析】将 表成 ,则IPdyzQxRdy.2zxz又 是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记 围成区域 ,见草图, 取外侧,由高斯公式得.PQRIdVzxyz用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下, 为： ,于是02,024