第一章函数、极限与~连续.doc

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1、|第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设 是一个非空数集，若存在一个对应法则 ，使得对 内的每一个值 都有唯一的 值与DfDxy之对应，则称这个对应法则 是定义在数集 上的一个函数，记作： ，其中 叫自变量，f )(fy叫因变量或函数，数集 称为函数的定义域，而数集 叫函数的值域.y ,|xz如果 ，称函数 在 处有定义，函数 在 处的函数值记为 或 . x0)(xf0)(xf00xy)(f注释:函数定义的两个要素：定义域和对应法则；两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：与 不同，因定义域不同；2)(xf 1)(xg与 不同，因对应法则不同；f

2、sinsin与 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相xx22co)(1)(2tg同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.若定义域内的每一个 只对应一个函数值 ，则称该函数为单值函数，若同一个 值可对应于y x多于一个的函数值 ，这种函数称为多值函数.y二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间 上有定义，如果对 ，恒有D2121,xDx且（或 ） ，则称 在区间 上严格单调增加（或严格单调减少）的.)(2xff)(21xff)(xf如果对于 1,，有 (或 )称 在区间 上是单调增加（或单调减少）21x且 )(2xff()21xff(fD的.|注释：（1）函数的有界性与

3、单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增.（3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数.（4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设 是对称于原点的区间，若对 ， ，则称DDx)()(xff且是奇函数；若有 ，称 是偶函数.)(xf )(xff)(f注释：奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间.奇函数 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称.)(xf y奇偶函数的运算性质1奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与

4、偶函数的代数和为非奇非偶函数；2偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数；3一奇一偶函数的积是奇函数；4奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5奇函数的原函数是偶函数；偶函数 的原函数 是奇函数的充要条件是)(xfxadtfF)()(，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.0a任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即.)(xf 2)(2)(xfxf3、函数的有界性：设 在区间 上有定义，如果存在 ,使得对一切 都有fD0MDx，则称 在 上有界，否则称为无界，即对 ，若存在 ，使得Mxf)()(x 0，称 在 上是无界的.f注释：

5、函数的有界性与 的取值区间有关. 若函数 在区间 上有界，但在 内是xxy1),()1,(无界的，因为在这个区间上函数满足定义的 不存在，即函数的有界性与 的取值区间有关.Mx|4、函数的周期性：设 的定义域为 ，若存在常数 ，伎得对 ，必有)(xfD0TDx，并且有 成立，则称 是以 为周期的周期函数， 称为函数DTxT)(xf T的周期，所有周期中的最小正周期叫函数 的周期.)(f注释：周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间.如： 的定义域是（ ）且xytan, .,210,kx若 的周期为 ，则 的周期为 ( )；)(fT)(fT周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函

6、数周期的最小公倍数，如：周期是 的最小公倍数 ，但也有例外，如： , 的周期为xy3cos4sin32,42xsinco2 ，但 的周期为 ；i周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变；设 是周期为 的函数，则它的原函数 为周期函数的充要条件是)(xfTxadtfF)()(，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如： 是以 2 为周00Td xfcos1)期的函数，但其任一个原函数 不是周期函数. CxFsin)(不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数 任何有理数 都且xy,0r是它的周期,即若 为有理数, 也是有理数,故有 ;若 为无理数, 也xrx)(1)(rfxfx是无理

7、数,故 ,可见 为 的周期,但它没有最小的正周期.)(0)(ff)(f又如： ， 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.Cy三、反函数设函数 ，其定义域为 ，值域为 ，如果对于 中的某一个 值（ ） ，都可)(xfDMyM以从关系式 确定唯一的 （ ）与之对应，这样就确定了一个以 为自变量的新函数，yx记为： ，称函数 为函数 的反函数，它的定义域为 ，值域为 .)(1fx)(1yf)(xfD|注释：习惯上自变量用 表示，函数用 表示，因此函数 的反函数 通常xy)(xfy)(1yf表示为 .)(1xfy反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有

8、.)()(11ff原来函数 与其反函数 的图像关于 对称（前提是在同一坐标系中） ，xy)(1xfyxy的图像与其反函数 的图像重合.)(xfy)(只有一一对应的函数才有反函数.若 在区间 内单调 在区间 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(fI)(xfI在区间 内存在单值反函数但 在区间 内不一定单调，如： xf在区间 内存在单值反函数，但它在 上不单调.10,1)(x，f 1,1,四、复合函数若函数 在 处有定义，而 在 处有定义，则 称为由)(u0)(ufy)(0x)(xfy和 复合而成的复合函数， 称为中间变量.)(fyx注释：只有当函数 的值域与 的定义域的交集不是空集时才

9、构成复合数.)(x)(fy函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设 ，xfsin)(，则 .xe)(xefsin)(si)(复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量 ，再依次分解，如：u，可设 , ，则原来函数是由 , 21)sinarct(xy)siarct(xuxvsin21uy， 复合而成.vu五、初等函数1、 基 本 初 等 函 数 ： 幂 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 三 角 函 数 、 反 三 角 函 数 这 五 类 函 数 统 称 为 基本 初 等 函 数 .|2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运

10、算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若 函 数 在 其 定 义 域 内 的 不 同 部 分 上 ， 分 别 用 不 同 的 表 达 式 表 示 ， 这 类 函 数 称 为 分段 函 数 .如：符号函数 是分段函数且是有界函数和奇函数.0,1,sgnx又如： 是分段函数.xysgn.,注释：分段函数一般不是初等函数，但若 是初等函数，则)(xf是初等函数.0)(,)(2 xffxff又如：取整函数 ，即“不超过 的最大整数”是分段函数.y又如：定义在 上的狄

11、利克雷（Dirichlet）函数 是分段函数，且是有R.,01)(且x，D界的， 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且 还是偶函数.)(xD )(xD4、初等函数的几个特例设函数 和 都是初等函数，则（1） 是初等函数，因为 ；)(fxg)(xf )(f2)(f（2）最大值函数 和最小值函数 都是初等函ma)(),(gxf ,min)(xg数，这是因为 )(21, xgfxfx )()(,in)( fxfgf （3）幂指函数 ( )是初等函数，因为)y0.)(ln)(ln)( xfgxfxgefg|1.2 极限一、数列极限的定义1、数列极限的概念设 为数列， 为定数，若

12、对任给的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，有nxaNn，则称数列 收敛于 ，而 称为数列 的极限，记作： ，或anxanxaxlim（ ）.xn若数列 没有极限，则称数列 不收敛，或称 为发散数列.nxnxnx若 ，则称 为无穷小数列.0limn定理 数列 收敛于 的充要条件是： 为无穷小数列.nxaaxn2、有界数列的概念对于数列 ，如果存在正数 ，使得对于一切的 都有不等式 成立，则称数列nMnMxn|是有界的；如果这样的正数 不存在，则称数列 是无界的.nx x注释：（1）若数列 收敛，则数列有界；nx（2）有界数列 不一定收敛，如： 有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的na)1(

13、必要条件；（3） （常数） ； （ ） ； （ ） ；Cnlim0limpn0limnq1（4）等差数列的求和公式 或 .2)(1naSdS2)(1（5）等比数列的前 项和公式 .nqn3、单调数列的概念对于数列 ，如果满足条件 ，则称数列 为单调增加数列；nx 121nxx nx如果满足条件 ，则称数列 为单调减少数列. 21n|单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列.定理（单调有界准则） 单调有界数列必有极限. 二、函数极限1、 时，函数 的极限x)(xf（1）概念定义 如果当 时，函数 无限趋近于某个确定的常数 ，则称常数 为函数 当)(f A)(xf时的极限，记作： 或 （ ）.x

14、Axlimx注释：（1） 是指 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况： 取正值并无限增大，记x x作： ； 取负值且其绝对值无限增大，记作： . （2）如果 和 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成 . x定义 如果当 时，函数 无限趋近于某个确定的常数 ，则称常数 为函数x)(xf A当 时的极限，记作： 或 （ ）.)(xfAxlimf)(x如果当 时，函数 无限趋近于某个确定的常数 ，则称常数 为函数 当)(f )(xf时的极限，记作： 或 （ ）.xxlixf)(（2）函数 在 时极限存在的充要条件)(f定理 极限 存在的充要条件是 且 .AxlimAxf)(limAxf)

15、(li如：由于 ， ，所以 ，故极2arctn2arctnlix xxxarctnlimarctn限 不存在；xarctli又如：由于 ， 即不存在，故极限 不存在.0lixexeli xeli2、 时，函数 的极限0x)(f（1）函数 在 时的极限概念)(f0x定义 设函数 在 的某个去心邻域内有定义，如果当 时，函数 无限地趋近0x)(xf|于某一确定的常数 ，则称 为函数 当 时的极限，记作： 或A)(xf0Axf)(lim0（ ）.xf)(0x注释： 表示 趋近于 ，含以下两种情况：0x（1） 从大于 的一侧（即右侧）趋近于 ，记作： ；x0 0x0x（2） 从大于 的一侧（即右侧）趋

16、近于 ，记作： .（2）函数左极限与右极限的概念定义 设函数 在 的某个左侧邻域 （ ）内有定义，如果当 从 的左)(xf0 ),(0xx0侧趋近于 （记作： ）时，函数 无限地趋近于某一确定的常数 ，则称 为函数0x)f A当 时的极限，记作： 或 或 .)(f Ax(lim0xf)(0xf)0(设函数 在 的某个右侧邻域 （ ）内有定义，如果当 从 的右侧趋近)(xf0,0x于 （记作： ）时，函数 无限地趋近于某一确定的常数 ，则称 为函数 当0)(xf A)(f时的极限，记作： 或 或 .xAxli0f)(0xf)0(（3）函数 在 时极限存在的充要条件)(f定理 极限 存在的充要条件

17、是 且 .xlim0 Axf)(lim0 Axf)(li0注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理.（4）几个常用极限， （常数） ， ， ， .01lixCx0li 0sinlx1coslix00lix（5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x的极限等于该点的函数值.0x3、函数极限的性质|（1）唯一性：若极限 存在，则它的极限必唯一；)(lim0xf（2）局部有界性：若 存在，则 和 ，当 时，有0x 0M0x；Mxf)(（3）保序性：设 ， ，Afx)(li0 Bxg)(li0（）若 ，则 ，当 时，有

18、 ；BA)(xgf（）若当 时，有 ，则 .0x)(xgfA（4）保号性：若 （或0） ，则必 ，当 时，有)(lim0Afx 00x（或 ）0)(xf)(f若 （或 ） ，且 ，则 （或 ）.xf)(li0 A注释：上述的变化趋势 ，可以换成 ， ， ， ，x00xxx若 ,且 ，则 是错误的，如)0()或f Afx)(lim0 )(或，但(2xxf1.3 极限的运算法则若 ， 都存在，则)(limxf)(lig（1） ；)(lim)(lixgf（2） ，特别地 ；)(lixxf )(lim)(lixfCxf（3） ，其中 ；)(li)(limgf 0)(lig（4） ；lixfxf（5）

19、其中 且不等于 1，,)(li)()(limgg 0)(lixf|特别地 （ 为实数）.)(lim)(lixfxf注释：法则（1） （2）可以推广到有限个函数. 时有理分式极限的求法0设 是有理分式， ，其中 ， .)(xR 011)()( bxxbaaxQPRnnmn 0nnb（1）若 ，则 ；0)(Qm )(li 00 Rx（2）若 ，而 ，则 ；x)(Pnli0x（3）若 且 ，则 与 一定有公因子 ，将 与)(0m0x)(n)(Qm)(0x)(Pn因式分解，约去公因式后再计算极限.)(xQ 时有理分式极限的求法其中 ， .,.,0)(lim时当 时当 时当 nmbaxRn0nanb无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限“ ”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于 的去心邻域内的一切 都有 ，且0xx)()(xhfg，则有 .Ahxg)(lim)(li00 Afx)(li0二、两个重要极限1、 ， ，1sinl0x1sinl0xx一般的 ， 表示任一函数 ，即 ；il)(xu1)(sinlm0)(xux