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1、|概率论第一章习题解3 (1)设 A,B,C 是三个事件,且 ,1()()4PABC, ,求 A,B,C 至少有一个发生的概率。()()0P18(2) , , , ,123()5()10P1()5AC, ,求 ; ; ; ; ;()0BC()0ABB的概率。A(3)已知 , ()若 A,B 互不相容,求 ,1()2P()PA()若 ,求1()8PB解 因为 事件“A,B,C 至少有一个发生” C而 , ,所以 ()0()0故 (PA()()()()BPBPA115048(2) () ()()()PAA;23105() ;14()()()5BPB() (PACAC()()PAB;11172350
2、230() ; ()()()PABCPAC2() 因为 ()sBB且 ()()C()152076|() 因为 ()()()PABCPABC已知 , ,故4(15760)()();21(3) , ()若 A,B 互不相容,求 ,1()2PA()PAB()若 ,求()8()因为若 A,B 互不相容,所以 , , ;1()(2PA()因为 ,且 ,()AB所以 ,代入已知条件,得)()()PP,即 。1(28AB384 设 A,B 是两个事件。(1)已知 ,验证 ;(2)验证 A 与 B 恰有一个发生的概率为 。()2()PAB解 (1)因为 , SB,()已知 ,AB所以 ()ABB(2)因为事件
3、“A 与 B 恰有一个发生” A所以 “A 与 B 恰有一个发生”的概率为 ()PB而 ,()SABA且 ,B故 ()()()PP|()()PABPAB25 10 片药片中有 5 片是安慰剂,(1)从中任意取 5 片,其中至少有 2 片是安慰剂的概率。(2)从中每次取 1 片,作不放回抽样,求前 3 次都取到安慰剂的概率。解 (1)设 “所取的 5 片药片中至少有 2 片安慰剂”B设 Ai“5 片中有 i 片是安慰剂” , (i=1 ,2,3,4,5) ,则样本空间所饮食的基本事件数: 510!9876251C含有的基本事件数: ;05415A10001011()()()()PBAPPPA。2
4、6352(2)设 C“前 3 次取到的都是安慰剂 ” 样本空间所饮食的基本事件数:1098720事件 C 所包含的基本事件数为:5436041()0982P6 在房间里有 10 个人,分别佩带从 1 号到 10 号的徽章,任选 3 人记录其徽章的号码。(1)求最小号码为 5 的概率;(2)求最大号码为 5 的概率。解 A“最小号码为 5”,B“最大号码为 5”样本空间所包含的基本事件数: ;31098120C事件 A 所包含基本事件数(即 5 固定,再从 6,7,8,9,10 这 5 个数中任选 2 个):254C事件 B 所包含的基本事件数(即 5 固定,再从 1,2,3,4 这 4 个数中
5、任选 2 个):2436故 ;10()PA1()20PB7 某油漆公司发出 17 桶油漆,其中白漆 10 桶,黑漆 4 桶,红漆 3 桶,在搬运的过程中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客,问一个订货为 4 桶白漆,3 桶黑漆,2 桶红漆的顾客,能按所订颜色得到订货的概率是多少?解 设 A“顾客能按所订的颜色如数拿到订货” ,则样本空间所包含的基本事件数: 917651108C|事件 A 所包含的基本事件数: 43210987432501C所以 。25()P8 在 1500 件产品中有 400 件次品,1100 件正品,任取 200 件:(1)求恰有 90 件次品的概率;(2)至少有 2
6、 件次品的概率。解 设 A“所取的 200 件产品中有 90 件次品” ,B“所取的 200 件产品中恰有 2 件次品”样本空间包含的基本事件数: ,015C事件 A 所包含的基本事件数: ,940事件 所包含的基本事件数:B2190(1) 901425()CP(2) 2019405()()CB9 从 5 双不同的鞋中任取 4 只,问这 4 只鞋至少能配成一双的概率是多少?解 设 A“4 只鞋不能配成双” ,则 “4 只鞋至少能配成一双”A样本空间所包含的基本事件数: 4102C事件 A 包含的基本事件数: 15280(即:先从 5 双鞋中任取 4 双,然后从所取的 4 双鞋中各任取一只,这样
7、取得的 4 只鞋,都不能配成双。 )于是,11522408() 0CP83A说明:本题有多种解法,总的思路是从 5 双鞋中任取一只后,再取时不考虑与已经取了的那一只能配成双的哪一只。如考虑 4 只鞋了是有次序的一只一只取出的:从 10 只鞋中任取 4 只共有种取法,即样本空间所包含的基本事件数: ;现在来求10987 ()10987Ns:第一只鞋可以从 10 只鞋中任意取,有 10 种不同的取法,第二只鞋只能从剩下的()NA9 只中且除去与已取的第一只配对的 8 只鞋中去取,有 8 种取法,同理,第三只、第四只各有 6 种取法、4 种取法。从而 。()1064NA|于是 ; 。10864()9
8、721PA813()2PA10 在 11 张卡片上写有 probability 这 11 个字母,从中任意抽 7 张,求其排列结果为 ability 概率。解 设 A“抽到 7 张卡片能排列成 ability”, 则样本空间所包含的基本事件数: 7109865事件 A 所包含的基本事件数: 1124CC(即在 11 个字母中只有 1 个 a,2 个 b,2 个 i,1 个 l,已经取了一个 i,只剩下 1 个 i,同样 t、y 也只有 1 个可取。 )于是 。714()0.4P11 将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率。解 设 “放入杯子中球的
9、最大个数” , ( )iA1,23i由于每个球可以任意地放入 4 个杯子中的任何 1 个中,且每个杯子可以放入的球的个数没有限制,于是“将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去”共有 种放法,即 。343()4NS:只有 3 个球都放入一个杯子中才能发生,且有 4 全杯子可任意选择,则3;()4NA341()6PA:只有当每个杯子最多放入 1 个球时才能发生,因而1 1()432NA132()4又 ,且 , ( )123ASijAij故 ()P从而 。216912 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 只铆钉强度太弱,每个部件用3 只铆钉。若将 3 只强度太弱有铆钉都装在一个部
10、件上,则这个部件的强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少?解 将 10 部件自 1 至 10 编号。则随机试验 E:随机地取铆钉,各部件都装 3 个铆钉。“第 号部件强度太弱” , ( )iAi 1,23,0i|由题设知,只有当 3 只强度太弱的铆钉同时装在第 号部件上时, 才能发生。由于iiA从 50 只铆钉中任取 3 只装在第 号部件上共有 种取法,强度太弱的铆钉仅有 3 只,它i350C们都装在第 号部件上,只有 种取法。i31故 , ( ) 。350()96iPAC,23,10i又 两两互不相容,因此,10 个部件中有一个强度太弱的概率为121,。0() 1210()()PAP
11、A 196013 一个俱乐部有 5 名一年级的学生,2 名二年级的学生,3 名三年级的学生,2 名四年级的学生。(1)在其中任选 4 名学生,求一、二、三、四年级各有一名学生的概率;(2)在其中任选 5 名学生,求一、二、三、四年级的学生都包含在内的概率。解 (1)设 A“4 名学生中,一、二、三、四年级各有一名学生” ;样本空间所包含的基本事件数: 41209453C事件 A 所包含的基本事件数为: 15615234604()93CP(2)设 B“5 名学生中,一、二、三、四年级的学生都包含在内” 。样本空间所包含的基本事件数: 5120987243C事件 A 所包含的基本事件数为: ,15
12、3()(即先从每个年级任选一人,再从 4 个年级中 1 个,就可保证 5 名学生中包括每个年级的学生在内)。115234()0)7923CPB14 (1)已知 , , ,求条件概率 。().A().PB()0.5A(|)PBA(2)已知 , , ,求 。1()41(|)31(|)2B()解 (1)因为 , , ,0.30.40.5所以 , ,()7PA()6|()ABA0.2()PP故 (|)()BA()PAB0.2.576(2)因为, ,由乘法公式得,1()4PA(|)3B|142又 , ,得(|)2()(|)PAB,即 1B6所以 ()()()PA。142315 掷两颗骰子,已知两颗骰子的
13、点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率(用两种方法) 。解 设 A“两颗骰子的点数之和为 7”,B“一颗点数为 1”解 方法一(用条件概率公式计算)样本空间所包含的基本事件数:36事件 A 所包含的基本事件数: 6,即(1,6) , (6,1) , (5,2) , (5,2) , (3,4) (4,3) 事件 AB 所包含的基本事件数:2 即(1,6) , (6,1) 则 ,6()3P2()3B故 。631|()AB方法二(在缩减的样本空间计算)以 A 为缩减的样本空间,则 A 所包含的基本事件数: 6事件 B 在缩减的样本空间所包含的基本事件数: 2故 。21()63P16 据以往资料
14、表明,某 3 口之家,患有某种传染病的概率有以下规律:P孩子得病 0.5,P母亲得病孩子得病0.5,P父亲得病母亲及孩子得病0.4|求母亲及孩子得病而父亲未得病的概率。解 设 A“孩子得病” ,B“母亲得病” ,C“父亲得病” ,则“母亲及孩子得病而父亲未得病”C已知 , ,()0.6P(|)0.5A(|)0.4PAB由乘法公式: |.63B()(|)(.12C又 ,且AABACB所以, 。()()()0.3.8PBP。|()CA17 已知在 10 件产品中有 2 件次品,在其中取两次,每次任取一件,作不放回抽样,求下列事件的概率:(1)两件都是正品;(2)两件都是次品;(3)1 件正品,1
15、件次品;(4)第二次取出的是次品。解 设 “第 次取得的是正品” ( ) 。iAi 1,2i因为是不放回抽样,故样本空间所包含的基本事件数: ,109(1)事件 所包含的基本事件数 : ,1 87;872()0945PA(2)事件 所包含的基本事件数 :2 1;1()(3)事件 “1 件正品,1 件次品”所包含的基本事件数 :12A(可能是第一次取得正品,也可能是第二次取得正品) ,12(8)C112360945P解法二: 因为 , ,312A312()PAA又 ,所以,由乘法公式,得12|31212()()PAPA1| |)(PA。8691045解法三:利用(1)与(2)的结果,因为 ,且
16、,12122AS12A, , 两两互不相容,故A122A。1212()()()PPA8645(4)因为,事件 “第二次取出的是次品” ,221()()A2121()2PA211(|)(|)(PA。890518 某人忘记电话号码的最后一位数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过 3 次而接通所需电话的概率;若已知最后一位数字是奇数,那么此概率是多少?解 “第 次所能电话” , ( ) , “电话所能”iA1,23i则 123A(1)第一次拨通电话: ;1()0P第 2 次拨通电话,即是 ,由乘法公式,得21191()(|)(PApA第 3 次拨通电话,即是 ,由乘法公式231211133()(|)
17、(|)(PA890121213()()()PA。|或 123()()PA31|(|PA78910(2)当已知最后一个数字是奇数时,与(1)有同样的思路和解法:;1()5PA2121133(|)(|)(ApP45112()(|)(5P2213)AAP135或 13()()321|(|P4519 (1)设甲袋中装有 只白球, 只红球;乙袋中装有 N 只白球,M 只红球,今从甲nm袋中任意取一球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一球,问取到白球的概率是多少?(2)设第一只盒子中装有 5 只红球,4 只白球;第二个盒子中装有 4 只红球,5 只白球,先从第一个盒子中任意取 2 球放入第二个盒子中,然后从第二个盒子中任意取一只球,求取到白球的概率是多少?解 (1)R“从甲袋中取到红球 ”,W “从乙袋中取到白球” ,则,且 ,()WSRR()PP(|)(|)P ;11NmNnMn(2)设 “从第一个盒子中取得的球中有 只红球。 ”( )iRi0,12i“从第二个盒子中取得一只白球。 ”则W012012()SRWR由乘法公式,得
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