中考数学二次函数总复习练习汇总与复习资料.docx

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1、第二十六章二次函数（一）解题技巧1. 情景引入某工厂一种产品现在的年产量是20万件, 计划今后两年增加产量, 如果每年都比上一年的产量增加x倍, 那么两年后的产量y随计划所定的x值而确定, y及x之间的关系应怎么表示?2. 知识提要(1) 二次函数的概念: 一般地, 形如2(a, b, c是常数, a0)的函数;(2) 二次函数的图象;(3) 二次函数平移、开口方向、对称轴、顶点坐标.一般地, 我们可以用配方法将抛物线2(a0)转化成()2+, a0时, 开口向上, a0时, 开口向下, 对称轴是, 顶点坐标是(, );(4) 用函数观点看一元二次方程;(5) 实际问题及二次函数3. 案例分析

2、【案例1】如果函数(m2)x是二次函数, 求常数m的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m24=2, 且m20解: (m2)x是二次函数m24=2, 即m26=0 解这个一元二次方程, 得m1=3, m22当3时, m2=50, 符合题意当2时, m20, 不合题意.常数m的值为3. 【方法点评】涉及二次函数的问题, 按照先看变量x项的次数, 再看变量最高次项系数的步骤去分析.【案例2】二次函数2的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数221, 求b和c.【思路点拨】本题原函数解析式中的一次项系数b, 常数项c是待定的. 解题关键是需先求抛物线的顶点坐标, 根据两个抛物线

3、的平移情况, 可确定其顶点坐标.解: 221=(x1)2,抛物线221的顶点是B(1, 0), 根据题意知: 把抛物线向下平移3个单位,再向右平移2个单位, 就得到抛物线2, 这时由顶点B(1, 0)平移到A(3, 3)处, 所以抛物线2的顶点是(3, 3).2(x3)23266.6, 6.【方法点评】本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式, 从图象顶点的变化直观地找到解题思路, 体现了数形结合的基本思想, 这是一个基本的解题途径, 也是一条行之有效的坦途.【案例3】已知二次函数2+21. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随x的增大而减小? 当

4、x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多少?【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴.解: (1) 0, 函数图像开口向上. 2, 1.函数图象的对称轴是直线2, 顶点坐标是(2, 1). (2) 由(1) 可知: 当x2时, y随x的增大而减小; 当x2时, y随x的增大而增大. (3) 由0知, 该函数有最小值. 由(1)可知当x2时, 函数有最小值1.【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例运用公式法.(2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画

5、出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.【案例4】如图, 二次函数2的图象及x轴只有一个公共点P, 及y轴交点为Q, 过点Q的直线2及x轴交于点A, 及这个二次函数的图象交于另一点B. 若S3S, 求这个二次函数的解析式.【思路点拨】要求二次函数2的解析式, 就是要求b、c的值. 考虑到直线及抛物线交于Q、B, Q点坐标为(0, c), 可过B作x轴于C, 由S3S可得S4S. 于是44c. 联立两个解析式不难表示出B的坐标, 由4c便可得到一个关于b、c的关系式. 又由抛物线的顶点在x轴上, 则可得到另一个关于b、c的关系式, 两式联立便可求b、c的值.解: 二次函数2及

6、y轴的交点Q的坐标为(0, c)又 直线2过点Q,联立得又及有相同的一边, 过B点作x轴于点C.4.又c, 故4c.即424c.又因2及x轴只有一个交点b240 联立解得b1=, b2=4.经检验当b1=时及题意不合, 舍去.4, 4.二次函数的解析式为244.【案例5】阅读下列材料, 探究问题.已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S及a的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S62时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a取何值时, S.解: (1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积为Sa2.(2) 列表a3210123S9410149画出图象如图所示

7、(3) 当62时, ,故正方形的周长为4.(4) 当时, 2, 且此函数在其取值范围内, S随a的增大而增大.当a或a时, S.请你就上述材料谈谈你的感受, 并及同伴交流从中获利的启迪.【思路点拨】上述问题是二次函数2的实际应用题. 在解题过程中, 由于忽视了对自变量a的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a应是个正数, 即a0, 所以图象只是抛物线2的一部分, 且不包括最低点(0, 0).正确解法如下:(1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积Sa2(a0).(2) 列表:a123S149画出图象如图所示.(3) 当S62, (a不合题意, 舍去). 故正

8、方形的周长为4.(4) 当时, 2, 且函数在取值范围内S随a的增大而增大, 当a时, S2.【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a的取值范围, 运用图象来解决问题.（二）探究题1. 抛物线x26及x轴交于A、B两点, 及y轴相交于C点. (1) 求的面积; (2) 已知E点(0, 3), 在第一象限的抛物线上取点D, 连接, 使被x轴平分,. 试判定四边形的形状, 并证明你的结论.2. 有一边长为5的正方形和等腰, 5, 8, 点B、C、Q、R在同一条直线l上, 当C、Q两点重合时, 等腰以1的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动, 后正方形及等腰重合部分的面积为2. 解

9、答下列问题: (1) 当3s时, 求S的值; (2) 当t5s时, 求S的值; (3) 当5st8s时, 求S及t的函数关系式, 并求出S的最大值.3. 如图, 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面的宽为20m, 水位上升3m时, 水面的宽是10m. (1) 建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式; (2) 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地, 已知甲地距此桥280(桥长忽略不计). 货车正以每小时40的速度开往乙地, 当行驶1h时, 忽然接到紧急通知; 前方连降暴雨, 造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在处, 当水位达到桥拱最高点O时,

10、 禁止车辆通行). 试问: 如果货车按原来速度行驶, 能否安全通过此桥? 若能, 请说明理由, 若不能, 要使货车安全通过此桥, 速度应超过每小时多少千米?4. 某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时, 身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件). 在跳某个规定动作时, 正常情况下, 该运动员在空中的最高处距水面10m, 入水处距池边的距离为4m, 同时, 运动员在距水面高度为5m以前, 必须完成规定的翻腾动作, 并调整好入水姿势, 否则就会出现失误. (1) 求这条抛物线的解析式; (2) 在某次试跳中, 测得运动员在空中的运动路线是

11、(1) 中的抛物线, 且运动员在空中调整好入水姿势时, 距池边的水平距离为3m, 问此次跳水会不会失误? 并通过计算说明理由.综合训练一、选择题(每小题3分, 满分30分)1. 已知函数3x1; 3x21; 3x3+2x2; 2x221. 其中二次函数的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 抛物线2+68及y轴的交点坐标是A. (0, 8)B. (0, 8)C. (0, 6)D. (2, 0), (4, 0)3. 二次函数x222的顶点坐标, 对称轴分别是A. (1, 3), 1B. (1, 3), 1C. (1, 3), 1D. (1, 3), 14. 将抛物线2x2如何平移可得到抛物

12、线2(x4)21A. 向左平移4个单位, 再向上平移1个单位B. 向左平移4个单位, 再向下平移1个单位C. 向右平移4个单位, 再向上平移1个单位D. 向右平移4个单位, 再向下平移1个单位5. 已知二次函数2的对称轴为1, 在其图象上有三个点(3, y1), (2,y2), (4, y3), 则A. y1y2y3B. y2y1y3C. y3y1y2D. y3y2y16. 已知二次函数2的图象如图所示, 下列结论: 0; a0; 0; 2a. 其中正确的结论有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7. 为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题, 国家决定对某药品分两次降价. 若设平均每次降价

13、的百分率为x, 该药品的原价是m元, 降价后的价格是y元, 则y及x的函数关系式是A. 2m(1x)B. 2m(1)C. (1x)2D. (1)28. 根据下列表格的对应值:x3.233.243.253.2620.060.020.030.07判断方程20(a0, a、b、c为常数)一个解x的范围是A. 3x3.23B. 3.23x3.24C. 3.24x3.25D. 3.25x3.269. 二次函数2的图象如图所示, 则在下列各不等式中, 成立的个数是00b aA. 1B. 2C. 3D. 410. 关于二次函数2的图象有下列命题: 当0时, 函数的图象经过原点; 当c0且函数的图象开口向下时

14、, 方程20必有两个不等实根; 函数图象最高点的纵坐标是; 当0时, 函数的图象关于y轴对称. 其中正确命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(每小题3分, 满分18分)11. 若(1)x是二次函数, 则 .12. 写出一个图象开口向下, 对称轴为1的一条抛物线的解析式.13. 二次函数2x2的顶点坐标是(1, 2), 则 , .14. 已知抛物线2及x轴有一个交点, 那么一元二次方程20的根的情况是.15. 抛物线26顶点在x轴上, 则 .16. 已知二次函数22x3, 则函数值y0时, 对应x取值范围是.三、解答题(本题满分72分)17. 分别求出满足条件的二次函数

15、解析式, 并写出开口方向, 对称轴和顶点坐标. (1) 图象经过(3, 0), (1, 0), (0, 2); (2) 顶点坐标(1, 2), 过(0, 4).18. 已知抛物线22x3及x轴交于A、B两点(A在B左侧), 交y轴于c, 求的面积.19. 已知抛物线2. (1) 用配方法求出它们的顶点坐标和对称轴; (2) 若该抛物线及x轴的两个交点为A、B, 求线段的长.20. 某旅社有100张床位, 每床每晚收费10元时, 床位可全部租出. 若每床每晚收费提高2元, 则减少10张床位租出, 若每床每晚收费再提高2元, 则再减少10张床位租出, 以每次提高2元的这种方法变化下去. 为了投资少

16、而获利大, 则应确定每床每晚应提高多少元?21. 心理学家发现, 学生对概念的接受能力y及提出概念所用时间x(分)之间满足函数关系: 0.1x2+2.643(0x30). y值越大, 表示接受能力越强. (1) x在什么范围内, 学生的接受能力逐步增强? x在什么范围内, 学生的接受能力逐步降低? (2) 第10分钟时, 学生的接受能力是多少? (3) 第几分钟时, 学生的接受能力最强?22. b为何值时, 一次函数5及二次函数2+35的图象有一个交点, 有两个交点, 无交点.23. 如图所示, 已知抛物线22及x轴交于A、B两点, 及y轴交于点D(0, 8), 直线平行于x轴, 交抛物线于另

17、一点C. 动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发, 沿CD运动, 同时, 点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发, 沿AB运动, 连接、. 设点P的运动时间为t秒. (1) 求a的值; (2) 当t为何值时, 平行于y轴; (3) 当四边形的面积等于14时, 求t的值.24. 如图所示, 在直角坐标系中, 的顶点坐标分别为A(0, 2), O(0, 0), B(4, 0), 绕O点按逆时针方向旋转90得到.(1) 求C、D两点的坐标;(2) 求经过C、D、B三点的抛物线的解析式;(3) 设(2) 中抛物线的顶点为P, 的中点为M, 试判断是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形? 并说明理由.

18、探究题答案1. 解: (1) 当0时, x26=0, 即x1=3, x2=4, A(3, 0), B(4, 0). 当0时, 6, C(0, 6)S(4+3)6=21.(2) 四边形是平行四边形.理由: 设交x轴于点P, 作x轴, M是垂足.首先证: , 则3, 点D的纵坐标是3.D在x26的图象上,3=x26, 2(舍去)或3.D(3, 3). , , 3, 3.四边形是平行四边形.2. 解: (1) 作, E为垂足, 如图所示. ,4.当3s时, 3, 设及交于点G., .S43=6, 6=()2.(2) 当5s时, 3, 如图设及交于G.由, 可求出S(m2).12=(2).(3) 当5

19、st8s时,. 5, 8t, 设交于点H, 如图,由, 得S(t5)2, 由, 得S(8t)2,12(t5)2(8t)2. 即S 当6. 5s时, S最大, S的最大值为2.3. (1) 解: 设抛物线的解析式为2, 桥拱最高点O到水面的距离为h m, 则D(5, h), B(10, h3).解得抛物线的解析式为x2. (2) 水位由处涨到点O的时间为: 10.25=4(h), 货车按原来速度行驶的路程为: 401+404200280, 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提到到x , 当4401=280时, 60. 要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60.4. 解: (1) 在

20、给定的直角坐标系下, 设最高点为A, 入水点为B, 抛物线的解析式为: 2. 由题意知, O、B两点的坐标依次为(0, 0), (2, 10), 且顶点A的纵坐标为, 所以解得或抛物线的对称轴在y轴右侧, 0,又抛物线开口向下,a0.b0, , , 0,抛物线的解析式为: .(2) 当运动员在空中距池边的水平距离为3m时, 即32=时,此时运动员距水面的高为: 105.因此, 此次试跳会出现失误.综合练习答案一、选择题题号12345678910答案BACDCCCCCC二、填空题11. 312. 如(x1)2 13. 4, 0 14. 有两个相等的实数根15. 916. 1x3三、解答题17.(

21、1) 22, 开口向上, 对称轴x1. 顶点坐标(1, ); (2) 2x244, 开口向上, 对称轴1, 顶点坐标(1, 2).18. 619. (1) 顶点坐标(1, 3), 对称轴1; (2) 4.20. 解: 设该旅社每床每晚提高x元, 旅社获利y元, 则有(100x10)(10)=5(x5)2+1125,当5时, y最大, 但x应为偶数, 所以4或6.21. 解: (1) 0.1x2+2.643=0.1(x13)2+59.9, 所以当0x13时, 学生的接受能力逐步增强.当13x30时, 学生的接受能力逐步下降.(2) 当10时, 0.1(1013)2+59.9=59.第10时, 学

22、生的接受能力为59.(3) 13时, y取得最大值, 所以在第13时, 学生的接受能力最强.22. 解: 由方程组, 得x2250又b24(2)241(5b)=4(b4). 当4时, b240, 有一个交点; 当 b4时, b240, 有两个交点; 当 b4时, b240, 无交点.23. 解: (1) D(0, 8)在抛物线上, 2=8, 6.(2) 当6时, 抛物线解析式为268.当8时, x260. x1=0, x2=6.C(6, 8). 当0时, x268=0.x1=2, x2=4. A(2, 0), B(4, 0).2t, , P(62t, 8), Q(2, 0).由622, 得.(3) (422t)8=48.由48=14, 得.当秒时, 四边形的面积为14.24. (1) 由旋转的性质可知: 2, 2 C、D两点的坐标分别为(2, 0)、D(0, 4) (2) 设求抛物线的解析式为2根据题意, 得x24 (3) 答: 是钝角三角形 如果是抛物线x24的对称轴, 求得M、P点的坐标分别为M(2, 1), P(1, )点M在的右侧. 90, 190.1, 90.为钝角三角形.第 11 页